Giải hệ phương trình: $\begin{cases} 2x^{2} - xy + 3y^{2} = 13\phantom{!}\color{brown}{\textbf{(1)}}\\x^{2} + 4xy - 2y^{2} = - 6\phantom{!}\color{olive}{\textbf{(2)}}\end{cases}$

Đáp án:

 

Giải thích các bước giải:

$\begin{cases} 2x^2-xy+3y^2=13  \\x^2+4xy-2y^2=-6   (1) \end{cases}$

`<=>` $\begin{cases} 12x^2-6xy+18y^3=78\\12x^2+52xy-26y^2=-78 \end{cases}$

`<=>` $\begin{cases} 25x^2+46xy-8y^2 = 0  (2) \\x^2+4xy-2y^2=-6 \end{cases}$

Pt `(2) <=> 25x^2 - 4xy +50xy  -8y^2=0`

`<=> 25x(x+2y) - 4y(x+2y)=0`

`<=>(x+2y)(25x-4y)=0`

`<=>` \(\left[ \begin{array}{l}x=-2y\\x=\dfrac{4y}{25}\end{array} \right.\) 

`+)`  Thay `x=-2y` vào `(1)` ta đc:

  `(-2y)^2 + 4.(-2y).y - 2y^2=-6`

`<=> 4y^2 - 8y^2 - 2y^2=-6`

`<=>-6y^2=-6`

`<=>y^2=1`

`<=>` $\begin{cases} y=1 ⇒ x = -2\\y =-1 ⇒x = 2 \end{cases}$

`+)`  Thay `x= (4y)/25` vào `(1)` ta có:

   `(\frac{4y}{25})^2 + 4. (4y)/(25).y - 2y^2=-6`

`<=> (16y^2)/(625) + (16y^2)/(25) - 2y^2=-6`

`<=> 16y^2 + 400y^2 - 1250y^2 = -3750`

`<=> -834y^2=-3750`

`<=>y^2=(625)/(139)`

`<=>` $\begin{cases} y = \dfrac{25\sqrt{139}}{139} ⇒ x = \dfrac{4\sqrt{139}}{139}\\y = -\dfrac{25\sqrt{139}}{139} ⇒ x = -\dfrac{4\sqrt{139}}{139} \end{cases}$

Vậy hpt có `4` nghiệm `(x;y) = {(-2;1); (2;-1); (\frac{4\sqrt{139}}{139}; \frac{25\sqrt{139}}{139}); (-\frac{4\sqrt{139}}{139}; -\frac{25\sqrt{139}}{139})}`