Cho tam giác abc nội tiệp đường tròn (o), đường cao ah (h thuộc bc) kể hm vuông góc với ab, hn vuông góc với ac( m thuộc ab, n thuộc ac) a, chứng minh amhn là tứ giác nội tiếp b, đường thăng mn cắt cung nhỏ ac của đường tron (o) tại d. C/m oa vuông với mn, ad=ah

Giải thích các bước giải:

a.Ta có: $\widehat{AMH}=\widehat{ANH}=90^o$

$\to AMHN$ nội tiếp đường tròn đường kính $AH$

b.Ta có: $\Delta AHB$ vuông tại $H, HM\perp AB\to AH^2=AM\cdot AB$

Tương tự $AH^2=AN\cdot AC$

$\to AM\cdot AB=AN\cdot AC$

$\to\dfrac{AM}{AC}=\dfrac{AN}{AB}$

Mà $\widehat{MAN}=\widehat{BAC}\to|Delta AMN\sim\Delta ACB(c.g.c)$

$\to\widehat{AMN}=\widehat{ACB}$

Gọi $xy$ là tiếp tuyến của $(O)$ tại $A\to OA\perp xy$

$\to\widehat{xAB}=\widehat{ACB}=\widehat{AMN}$

$\to xy//MN$

$\to OA\perp MN$

Xét $\Delta AND,\Delta ADC$ có:

Chung $\hat A$

$\widehat{ADN}=\widehat{ADM}=\widehat{yAD}=\widehat{ACD}$

$\to\Delta ADN\sim\Delta ACD(g.g)$

$\to\dfrac{AD}{AC}=\dfrac{AN}{AD}$

$\to AD^2=AN\cdot AC=AH^2$

$\to AD=AH$