Cho tam giác ABC vuông tại A , vẽ tia phân giác BD . Kẻ DE vuông góc với BC( E thuộc BC ) . Gọi F là giao điểm của BA và ED . CMR : a) Tam giác BED = Tam giác BAD B) Tam giác BCF Cân tại B c) BD là đường trung tuyến của tam giác BCF

a) $BD$ là tia phân giác góc $ABC$.

$\Rightarrow \angle ABD = \angle CBD$

Xét tam giác $BED$ và tam giác $BAD$:

$\angle BED = \angle BAD = 90^\circ$

$\angle ABD = \angle CBD$ (chứng minh trên)

$BD$ chung

$\Rightarrow \triangle BED = \triangle BAD$ (cạnh huyền - góc nhọn)

b) Từ đó $\Rightarrow AD = DE$ (2 góc tương ứng)

$\Rightarrow AB = BE$ (2 góc tương ứng)

Xét tam giác $ADF$ và tam giác $EDC$:

$\angle FAD = \angle CED = 90^\circ$

$AD = DE$ (chứng minh trên)

$\angle ADF = \angle EDC$ (2 góc đối đỉnh)

$\Rightarrow \triangle ADF = \triangle EDC$ (góc - cạnh - góc)

$\Rightarrow AF = EC$ (2 cạnh tương ứng)

Mà ở trên ta đã chứng minh $AB=BE$

$\Rightarrow AB+AF = EC+BE$

$\Rightarrow BF = BC$

$\Rightarrow \triangle BCF$ Cân tại $B$

c) Nối dài $BD$ cắt $FC$ tại $H$

Xét tam giác $FBH$ và tam giác $CBH$ ta có:

$BF = BC$ (chứng minh trên)

$\angle ABD = \angle CBD$ (chứng minh trên)

$BH$ chung

$\Rightarrow \triangle FBH = \triangle CBH$ (cạnh - góc - cạnh)

$\Rightarrow FH = HC$

$\Rightarrow BH$ là đường trung tuyến của tam giác $BCF$ hay $BD$ là đường trung tuyến của tam giác $BCF$.