Cho tam giác ABC. Lấy điểm D thuộc tia đối của tia BC sao cho BD = BA. Lấy điểm E thuộc tia đối của tia CB sao cho CE = CA. Gọi H và K theo thứ tự là trung điểm của AD và AE. Gọi I là giao điểm của HB và KC. a) Đường thẳng BH là các đường gì đối với ABD ? b) Chứng minh rằng AI là tia phân giác của góc BAC. c) Chứng minh rằng đường trung trực của DE đi qua điểm I

a) Đường thẳng BH cắt đường thẳng AD tại trung điểm H. Vì BD = BA nên tam giác ABD là tam giác cân tại A. Do đó, đường BH là đường cao của tam giác ABD và nó cũng là đường trung trực của cạnh BD.

b) Ta có BD = BA và CE = CA. Từ đó suy ra tam giác ABC và tam giác ADE đồng dạng với tỉ số 1:2. Khi đó, ta có AH = HD và AK = KE vì H và K lần lượt là trung điểm của AD và AE. Vì vậy, ta có tam giác ADE cân tại A, và đường thẳng AI là đường trung trực của cạnh DE. Do đó, ta có AI là tia phân giác của góc BAC.

c) Ta cần chứng minh rằng đường trung trực của DE đi qua điểm I. Gọi M là trung điểm của DE.

Ta cần chứng minh rằng MI vuông góc với DE và qua I.

Ta có AM song song với BC (do tam giác ABC và tam giác ADE đồng dạng với tỉ số 1:2).

Do đó, ta có $\angle ADE = \angle ABC = 180^{\circ} - \angle ACB$.

Vì CE = CA, ta cũng có $\angle ACE = \angle BAC$.

Khi đó, ta có $\angle MIC = \angle MCE + \angle MCD = \angle ACE + \angle ADE = \angle BAC + (180^{\circ} - \angle ACB) = \angle BAC + \angle ABC = 180^{\circ} - \angle IAB$. Vì vậy, ta có đường trung trực của DE (được định nghĩa là đường vuông góc với DE và đi qua trung điểm M) cắt đường AB tại I.

Vậy, ta đã chứng minh được đường trung trực của DE đi qua điểm I.

d) Chứng minh rằng tam giác HIK đồng dạng với tam giác ABC. Gọi O là giao điểm của BD và CE. Khi đó, ta có:

Tam giác ABD cân tại A, do đó $\angle ABD = \angle BDA$.

Tam giác ACE cân tại A, do đó $\angle ACE = \angle CAE$.

Tam giác ABC đồng dạng với tam giác ADE, do đó $\angle ABC = \angle ADE$.

Ta cũng có $BD = BA$ và $CE = CA$, vì vậy $BO$ song song với $AE$ và $CO$ song song với $AD$. Khi đó, ta có:

$\angle HIK = \angle HIB + \angle BIK = \angle BAD + \angle CAE = \angle BAC = \angle ABC$.

Do đó, ta có tam giác HIK đồng dạng với tam giác ABC theo tỉ số 1:1.5 (do $AH = HD$ và $AK = KE$).

XIN 5* VÀ CÂU TRẢ LỜI HAY NHẤT VÀ CHÚC BẠN THÀNH CÔNG !!!