Trong không gian Oxyz , cho 3 điểm A (2,4,-1 ) , B(3,2,2) , C(0,3,-2 ) và mặt phẳng (P): x-y+2z+1=0 . Gọi M là điểm tùy ý chạy trên mặt phẳng (P) . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức T = MA + MB + MC là :

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T = MA + MB + MC, ta cần tìm điểm M trên mặt phẳng (P) sao cho tổng khoảng cách từ M đến A, B, C là nhỏ nhất. Điều này tương đương với việc tìm điểm M trên mặt phẳng (P) sao cho tổng các đường thẳng MA, MB, MC cùng vuông góc với mặt phẳng (P) có độ dài nhỏ nhất.

Để giải quyết bài toán này, ta sẽ sử dụng tính chất đối xứng của đường thẳng. Gọi H là hình chiếu của điểm M xuống mặt phẳng (P). Ta sẽ chứng minh rằng tổng độ dài các đoạn thẳng MA, MB, MC là nhỏ nhất khi và chỉ khi M nằm trên đường thẳng AH, BH hoặc CH.

Để chứng minh điều này, ta xét một điểm M bất kỳ trên mặt phẳng (P) và các hình chiếu của A, B, C lên mặt phẳng (P) lần lượt là A', B', C'. Ta có:

• Đường thẳng MA cùng vuông góc với mặt phẳng (P) khi và chỉ khi đường thẳng A'H vuông góc với mặt phẳng (P), tức là M nằm trên đường thẳng AH.
• Tương tự, đường thẳng MB cùng vuông góc với mặt phẳng (P) khi và chỉ khi M nằm trên đường thẳng BH, đường thẳng MC cùng vuông góc với mặt phẳng (P) khi và chỉ khi M nằm trên đường thẳng CH.

Do đó, để tìm điểm M sao cho tổng độ dài các đoạn thẳng MA, MB, MC là nhỏ nhất, ta chỉ cần xét các điểm M trên đường thẳng AH, BH và CH, rồi tính khoảng cách từ M đến A, B, C và chọn điểm M cho tổng khoảng cách này nhỏ nhất.

Để tính khoảng cách từ điểm M đến điểm A, ta có công thức:

MA = √[(x_M - x_A)^2 + (y_M - y_A)^2 + (z_M - z_A)^2]

Thay vào đó các giá trị của A, B, C, ta có:

MA = √[(x_M - 2)^2 + (y_M - 4)^2 + (z_M + 1)^2] MB = √[(x_M - 3)^2 + (y_M - 2)^2 + (z_M - 2)^

                                    Chúc bạn học tốt