Cho $\triangle$ `ABC` vuông tại `A`. Trên cạnh `AC` lấy điểm `M`, dựng đường tròn (O) có đường kính MC, đường thẳng BM cắt đường tròn (O) tại `D`. Đường thẳng `AD` cắt đường tròn (O) tại `S`. `a)` Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp `b)` Chứng minh `CA` là tia phân giác của $\widehat{SCB}$ `c)` Gọi `E` là giao điểm của BC với đường tròn (O). Chứng minh rằng : Các đường thẳng `BA`, `EM`, `CD` đồng quy `d)` Chứng minh `DM` là tia phân giác của $\widehat{ADE}$ `e)` Chứng minh `M` là tâm đường tròn nội tiếp $\triangle$ `ADE`

`a)` Ta có:

`\hat{BDC}=90°` (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

`=>\hat{BAC}=\hat{BDC}=90°`

`=>2` đỉnh `A;D` cùng nhìn cạnh `BC` dưới góc vuông

`=>ABCD` nội tiếp

$\\$

`b)` Vì `ABCD` nội tiếp (câu a)

`=>\hat{BCA}=\hat{BDA}` (cùng chắn cung $AB)$

Mà `D MCS` nội tiếp `(O)`

`=>\hat{BDA}=\hat{MCS}` (góc ngoài tại 1 đỉnh bằng góc trong đỉnh đối diện)

`=>\hat{BCA}=\hat{MCS}`

`=>CA` là phân giác của `\hat{SCB}`

$\\$

`c)` Gọi `F` là giao điểm của `BA` và `EM`

Ta có:

`\hat{MEC}=\hat{MDC}=90°` (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

`=>FE`$\perp BC$ và $BD\perp DC$ $(1)$

Xét `\Delta BFC` có:

$CA\perp BF$

$FE\perp BC$

$M$ là giao điểm của $CA$ và $FE$

`=>M` là trực tâm `\Delta BFC`

`=>BM`$\perp FC$

`=>BD`$\perp FC$ $(2)$

Từ `(1)(2)=>F;D;C` thẳng hàng

`=>F\in CD` 

`=>BA;EM;CD` đồng quy tại $F$

$\\$

`d)` Xét tứ giác $AMDF$ có:

`\hat{FAM}+\hat{FDM}=90°+90°=180°`

`=>AMDF` nội tiếp (tổng 2 góc đối $180°)$

`=>\hat{AFM}=\hat{ADM}` $(3)$

(cùng chắn cung $AM)$

Ta có:

`MECD` nội tiếp `(O)`

`=>\hat{MDE}=\hat{MCE}` $(4)$

(2 góc nội tiếp cùng chắn cung $ME)$

`\hat{BFE}=\hat{BCA}` (cùng phụ `\hat{ABC})`

`=>\hat{AFM}=\hat{MCE}` $(5)$

Từ `(3);(4);(5)=>\hat{ADM}=\hat{MDE}`

`=>DM` là phân giác của `\hat{ADE}`

$\\$

`e)`  Xét tứ giác $ABEM$ có:

`\hat{BAM}+\hat{BEM}=90°+90°=180°`

`=>ABEM` nội tiếp (tổng 2 góc đối $180°)$

`=>\hat{ABM}=\hat{AEM}` $(6)$

(cùng chắn cung $AM)$

$\\$

Ta có:

`MECD` nội tiếp `(O)`

`=>\hat{MED}=\hat{MCD}` $(7)$

(2 góc nội tiếp cùng chắn cung $MD)$

`\hat{ACF}=\hat{FBD}` (cùng phụ `\hat{AFC})`

`=>\hat{MCD}=\hat{ABM}` $(8)$

Từ `(6);(7);(8)=>\hat{AEM}=\hat{MED}`

`=>EM` là phân giác của `\hat{AED}`

Ta lại có:

 `DM` là phân giác của `\hat{ADE}` (câu d)

`M` là giao điểm của `EM` và $DM$ 

`=>M` là giao điểm hai đường phân giác của `\Delta ADE`

`=>M` là tâm đường tròn nội tiếp `\Delta ADE`