Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 6 cm, AC = 8 cm. Vẽ đường cao AH và phân giác AD (D BC) a) Chứng minh: tam giác ABC đồng dạng tam giác HBA b) Tính đọ dài BH, BD c) Chứng minh: $\frac{1}{AH^2}$ = $\frac{1}{AB^2}$ + $\frac{1}{AC^2}$ các cậu giải giúp mình nhaa :]]

a)

Xét $\Delta ABC$ và $\Delta HBA$, ta có:

   $\widehat{BAC}=\widehat{BHA}=90{}^\circ $

   $\widehat{ABC}$ chung

Nên $\Delta ABC\sim\Delta HBA\left( g.g \right)$

b)

Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A$, ta có:

$B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}$ (Định lý Pytago)

$B{{C}^{2}}={{6}^{2}}+{{8}^{2}}=100$

$BC=10cm$

Từ $\Delta ABC\sim\Delta HBA\Rightarrow \dfrac{AB}{BH}=\dfrac{BC}{AB}$

$\Rightarrow BH=\dfrac{A{{B}^{2}}}{BC}=\dfrac{{{6}^{2}}}{10}=3,6cm$

Có $AD$ là tia phân giác của $\widehat{BAC}$

Nên $\dfrac{BD}{AB}=\dfrac{CD}{AC}=\dfrac{BD+CD}{AB+AC}=\dfrac{BC}{6+8}=\dfrac{10}{14}=\dfrac{5}{7}$

Suy ra $BD=\dfrac{5}{7}AB=\dfrac{5}{7}\cdot 6=\dfrac{30}{7}cm$

c)

Ta có ${{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{2}AH.BC=\dfrac{1}{2}AB.AC$

$\Rightarrow AH.BC=AB.AC$

$\Rightarrow A{{H}^{2}}.B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}.A{{C}^{2}}$

$\Rightarrow \dfrac{B{{C}^{2}}}{A{{B}^{2}}.A{{C}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}$

$\Rightarrow \dfrac{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}}{A{{B}^{2}}.A{{C}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}$

$\Rightarrow \dfrac{1}{A{{C}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{B}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}$