tìm số tự nhiên a sao cho 6a+4 và a+2 là lũy thừa của 2

$\text{→ Đáp án + Giải thích các bước giải:}$

$\text{→ Ta giả sử :}$

$\text{+) 6a + 4 = $2^m$. ( m $\in$ N  ; m > 2 ).}$

$\text{+) a + 2 = $2^n$. ( n $\in$ N* ).}$

$\text{→ Ta dễ dàng thấy :}$

$\text{+) 6a + 4 > a + 2 ⇒ $2^m$ > $2^n$ ⇒ m > n ⇒ m - n > 0.}$

$\text{→ Ta lại có :}$

$\text{+) a + 2 = $2^n$ ⇒ a = $2^n$ - 2.}$

$\text{→ Ta có :}$

$\text{6a + 4 = $2^m$.}$

$\text{⇒ 6( $2^n$ - 2 ) + 4 = $2^m$.}$

$\text{⇒ 6 . $2^n$ - 12 + 4 = $2^m$}$

$\text{⇒ 6 . $2^n$ - $2^m$ = 8}$

$\text{⇒ $2^n$ . ( 6 - $2^{m-m}$ ) = 8}$

$\text{→ Vì m , n $\in$ N* ( m ≥ 2 ) nên ( $2^n$ ; 6 - $2^{m-n}$ ) ∈ Ư(8) = ( 8 ; 4 ; 2 ; 1 ).}$

$\text{→ Ta dễ dàng thấy : $2^n$ $\neq$ 1.}$

$\text{⇒ ( $2^n$ ; 6 - $2^{m-n}$ ) = { ( 4 ; 2 ) , ( 2 ; 4 ) , ( 8 ; 1 ) }}$

$\text{⇒ ( n , m ) = { ( 2 ; 4 ) , ( 1 ; 2 ) , ( 3 ; 2,32192 ) }.}$

$\text{→ Vì n , m $\in$ N* ( m ≥ 2 ) nên :}$

$\text{⇒ ( n , m ) = { ( 2 ; 4 ) , ( 1 ; 2 ) }}$

$\text{→ Mà m > 2.}$

$\text{⇒ ( n , m ) = ( 2 ; 4 ).}$

$\text{→ Ta có :}$

$\text{6a + 4 = $2^m$ ⇒ 6a + 4 = $2^4$ ⇒ a = 2.}$

$\text{→ Vậy chỉ một số tự nhiên a để thỏa mãn là 2.}$