Cho $\triangle$ `DEF` nhọn nội tiếp đường tròn tâm `O`. Gọi `EA`, `FB` là các đường cao của $\triangle$ `DEF`, `EA` cắt `FB` tại `H` `a)` Chứng minh : `D,A,H,B` cùng thuộc 1 đường tròn `b)` Kéo dài `DH` cắt `EF` tại `K`, kẻ đường kính `DM` của đường tròn `(O)`. Chứng minh : `DH` $\bot$ `EF` và `DE.DF=DK.DM` `c)` Gọi `I` là trung điểm của `EF`. Chứng minh : `H,I,M` thẳng hàng và `2.OI` > `AB`

`a)` Gọi `C` là trung điểm $DH$

`=>AC;BC` lần lượt là trung tuyến của hai tam giác vuông `\Delta ADH;\Delta BDH`

`=>AC=CD=CH=1/ 2 DH=BC`

`=>D;A;H;B` cùng thuộc đường tròn tâm $C$ đường kính `DH`

$\\$

`b)` Xét `\Delta DEF` có:

`EA;FB` là các đường cao

`EA` và $FB$ cắt nhau tại $H$

`=>H` là trực tâm `\Delta DEF`

`=>DH`$\perp E F$ tại $K$ (đpcm)

$\\$

Ta có:

`\hat{DEK}=\hat{DMF}=1/ 2 sđ\stackrel\frown{DF}`

`\hat{DFM}=90°` (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Xét `\Delta DEK` và `\Delta DMF` có:

`\hat{DKE}=\hat{DFM}=90°`

`\hat{DEK}=\hat{DMF}` (c/m trên)

`=>\Delta DEK`$\backsim$`\Delta DMF` (g-g)

`=>{DE}/{DM}={DK}/{DF}`

`=>DE.DF=DK.DM` (đpcm)

$\\$

`c)` 

Vì `\hat{DFM}=90°=>MF`$\perp DF$

Mà $EH\perp DF$

`=>EH`//$MF$ $(1)$

$\\$

`\hat{DEM}=90°` (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

`=>ME`$\perp DE$

Mà $FH\perp DE$

`=>FH`//$ME$ $(2)$

Từ `(1);(2)=>MFHE` là hình bình hành

Vì `I` là trung điểm $EF$ (gt)

`=>I` là trung điểm $HM$

`=>H;I;M` thẳng hàng (đpcm)

$\\$

Xét `\Delta DHM` có:

`O` là trung điểm $DM$ (vì $DM$ là đường kính $(O))$

`I` là trung điểm $HM$ (c/m trên)

`=>OI` là đường trung bình `\Delta DHM`

`=>OI=1/ 2 DH`

`=>DH=2OI`

$\\$

Từ câu `a` ta có `A;B\in (C; {DH}/2)`

`=>AB` là dây cung và `DH` là đường kính của `(C;{DH}/2)`

`=>DH\ge AB` (đường kính là dây cung lớn nhất)

Nếu dấu "=" xảy ra tức là `DH=AB`

`=>AB;DH` đều là đường kính của `(C)` nên cắt nhau tại trung điểm `C` của mỗi đường

`=>ADBH` là hình bình hành

Mà `\hat{DBH}=90°`

`=>ADBH` là hình chữ nhật

`=>\hat{ADB}=90°`

`=>\hat{EDF}=90°` (mâu thuẫn giả thiết `\Delta DEF` nhọn)

`=>` Dấu "=" không xảy ra hay `DH>AB` `=>2OI>AB` (đpcm)