Cho tam giác ABC vuông tại A ( AB < AC ) . Kẻ AH vuông góc với BC tại H. Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với AB , cắt đường thẳng AH tại D. Gọi tia AB và tia CD cắt nhau tại E. Qua E kẻ đường thẳng song song với AC , đường thẳng này lần lượt cắt các đường thăng AD , BC tại I , K a) Gọi N là giao điểm của EH và AC ; Gọi Q là giao điểm của DN và BC ; Gọi P là giao điểm của BN và AD . Chúng minh : NA = NC và PQ // BD ; b ) Gọi G là giao điểm của đường thẳng AQ và CD . Qua Q kẻ đường thẳng song song với CE , cắt đường thẳng AC tại T. Chứng minh PT vuông góc AD .

a) Ta có tam giác ABC vuông tại A và AH vuông góc với BC nên ta có ABH ~ ABC. Do đó, ta có: $\dfrac{BH}{AB} = \dfrac{AB}{AC}$ $\Rightarrow BH = \dfrac{AB^2}{AC}$ Từ đây, ta có: $BD = BH \cdot \tan \angle B = \dfrac{AB^2}{AC} \cdot \dfrac{AC}{AB} = AB$ Do đó, ta có $AD \parallel BC$ và từ đó suy ra $EP \parallel BC$. Khi đó, ta có: $\dfrac{EN}{NA} = \dfrac{ED}{DB} = \dfrac{1}{2}$ (do $AD \parallel BC$) Vậy ta có $NA = NC$. Tiếp theo, ta chứng minh $PQ \parallel BD$. Ta có: $\dfrac{BP}{AN} = \dfrac{BE}{AE} = \dfrac{BD}{AD}$ (do $AD \parallel BC$) $\dfrac{BQ}{NC} = \dfrac{BD}{AD}$ (do $\triangle BQC \sim \triangle ACD$) Từ đó suy ra: $\dfrac{BP}{AN} = \dfrac{BQ}{NC}$ $\Rightarrow PQ \parallel BD$ b) Ta có $\triangle AQC \sim \triangle CED$ nên: $\dfrac{AG}{GT} = \dfrac{AQ}{CT} = \dfrac{AC}{CE}$ Từ đây, ta có: $\dfrac{AT}{AC} = 1 - \dfrac{CT}{AC} = 1 - \dfrac{AG}{CE} = \dfrac{GE}{CE}$ Mà $\triangle GDE \sim \triangle EKP$ nên $\dfrac{GE}{EP} = \dfrac{GD}{KP}$, suy ra: $\dfrac{AT}{AC} = \dfrac{GD}{KP}$ Do đó, ta có: $\dfrac{PT}{AD} = \dfrac{AT}{AC} \cdot \dfrac{DC}{DP} = \dfrac{GD}{KP} \cdot \dfrac{DC}{DP} = \dfrac{GD}{BD}$ Vì $AD \parallel BC$ nên ta có $\triangle ABD \sim \triangle AGD$, suy ra: $\dfrac{GD}{BD} = \dfrac{AG}{AB}$ Như vậy, ta có: $\dfrac{PT}{AD} = \dfrac{AG}{AB}$ Từ đó suy ra $PT$ vuông góc với $AD$.