Cho tam giác ABC (AB < AC), M là trung điểm của BC. Đường trung trực của BC cắt tia phân giác của góc BAC tại điểm P. Vẽ PH và PK lần lượt vuông góc với đường thẳng AB và đường thẳng AC. a) Chứng minh: PB = PC và BH = CK. b) Chứng minh: Ba điểm H, M, K thẳng hàng. c) Gọi O là giao điểm của PA và HK.Chứng minh: OA^2+OP^2+OH^2+OK^2=PA^2 . Mình đang cần gấp, ai giải đầu tiên mình vote 5 sao!!!

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

 a. Chứng minh tgBMP và tgCMP bằng nhau vì có BM = BC (gt); MP cạnh chung; ^BMP = ^CMP = 90

=> tgBMP = tgCMP (cgc) => PB = PC

Xét hai tgAPH và tgAPK vuông tại H và K và có : PA  (cạnh huyền chung);^HAP = ^KAP (AP phân giác) => tgAPH = tgAPK => PH = PK.

Xét hai tgBHP và tgCKP vuông tại H và K và PB = PC (câu a); PH = PK (cạnh góc vuông) =>tgBHP = tgCKP => BH = CK

b.Vì tgAHP = tgAPK => AH = AK =>tgHAK cân tại A=> ^AHK = ^AKH. Từ B vexdduwowngf //AC cắt HK cại I => ^BIH = ^AKH(đồng vị) => ^BIH = ^AHK => tgHBI cân tại B => BH = BI = CK

Xét tgBIM và tgCKM có MB = MC; BI = CK; ^MBI = ^MCK => tgBIM = tgCKM (cgc) => ^BMI = ^CMK và ^BMI + ^IMC = 180 (M trên BC) => ^CMK + ^IMC = 180 => I;  M; K thẳng hàng => H; M; K thẳng hàng (I trên HK)

c. Vì tgAHK cân tại A và có phân giác góc A cắt HK tại O nên AO vuông góc HK => áp dụng Py ta go vào tg vuông AHO và tg vuông POK =>

 OA^2+OP^2+OH^2+OK^2 = (OA^2 + OH^2) + (OP^2+OK^2) = AH^2 + PK^2 = AH^2 + PH^2 = AP^2=>  OA^2+OP^2+OH^2+OK^2=PA^2