Cho tam giác ABC vuông tại B , phân giác AD ( D thuộc BC ) , kẻ OB vuông góc với AD ( O thuộc AD ) và cắt AC tại E . Chứng minh : a, tam giác ABE cân . b, AD là đường trung trực của BE . c, OA + OB < AC + BC

a)

Xét $\Delta AOB$ và $\Delta AOE$, ta có:

$\widehat{AOB}=\widehat{AOE}=90{}^\circ $

$AO$ là cạnh chung

$\widehat{OAB}=\widehat{OAE}$ (vì $AO$ là tia phân giác $\widehat{BAC}$)

Nên $\Delta AOB=\Delta AOE\left( cgv-gn \right)$

$\Rightarrow AB=AE$

$\Rightarrow \Delta ABE$ cân tại $A$

b)

Vì $\Delta AOB=\Delta AOE\left( cmt \right)$

$\Rightarrow OB=OE\Rightarrow O$ là trung điểm $BE$

Vậy $AD\bot BE$ tại $O$ là trung điểm $BE$

Nên $AD$ là đường trung trực của $BE$

c)

Trong $\Delta OAB$ vuông tại $O$ có $OA<AB$

Trong $\Delta OBD$ vuông tại $O$ có $OB<BD$

Mà $AB<AC$ và $BD<BC$

Nên $OA+OB<AC+BC$