Cho hình vuông ABCD. Trên tia đối tia AB lấy điểm M, MD cắt tia BC tại N

a. CMR: AM.CN ko đổi khi M thay đổi

b. CM cắt AD tại I. AN cắt CK tại K.

CMR IK//MN

c. CMR: AI=DK và AC vuông góc với BI

d. AN cắt CM tại O. CMR: BO vuông góc với MN

Giải thích các bước giải:

a.Xét $\Delta ADM,\Delta DCN$ có:
$\widehat{MAD}=\widehat{DCN}(=90^o)$

$\widehat{M}=\widehat{CDN}$ vì $CD//AB$

$\to\Delta ADM\sim\Delta CND(g.g)$

$\to \dfrac{AD}{CN}=\dfrac{AM}{CD}$

$\to AM\cdot CN=AD\cdot CD$ không đổi khi $M$ thay đổi

b.Ta có: $AM//CD, AD//BC$

$\to\dfrac{IC}{IM}=\dfrac{CD}{AM}=\dfrac{AB}{AM}$

Vì $CD//AB$

$\to\dfrac{KC}{AB}=\dfrac{NK}{NA}=\dfrac{KD}{AM}$

$\to\dfrac{AB}{AM}=\dfrac{KC}{KD}$

$\to\dfrac{IC}{IM}=\dfrac{KC}{KD}$

$\to KI//DM\to IK//MN$

c.Ta có:

$\dfrac{AI}{BC}=\dfrac{MI}{MC}=\dfrac{DK}{DC}$

Mà $BC=DC\to AI=DK$

Xét $\Delta BAI,\Delta ADK$ có:

$AB=AD$

$\widehat{BAI}=\widehat{ADK}(=90^o)$

$AI=DK$

$\to\Delta BAI=\Delta ADK(c.g.c)$

$\to\widehat{ABI}=\widehat{DAK}$

Gọi $AK\cap BI=E$

$\to\widehat{ABI}+\widehat{ABI}=\widehat{EAI}+\widehat{AIE}$

$\to 90^o=\widehat{EAI}+\widehat{AIE}$

$\to\Delta AIE$ vuông tại $E$

$\to AK\perp BI$

d.Tương tự câu c chứng minh được $CI\perp BK$

Mà $AK\perp BI, AK\cap IC=O$

$\to O$ là trực tâm $|Detla BIK$

$\to BO\perp IK$

Mà $IK//MN\to BO\perp MN$

$\to\widehat{ABI}=\widehat{IAE}$