Cho tam giác `ABC` đều nội tiếp đường tròn (O,R). M là `1` điểm trên cung nhỏ `BC`, `MA` cắt `BC` tại `D`. Trên `AM` lấy điểm `N` sao cho `MB=MN`. Chứng minh : `a)` $\triangle$ `MBN` đều `b)` $\triangle$`BNA` `=` $\triangle$ `BMC` `c)` `AD.AM=AB^2` `d)` `MA=MB+MC` `e)` `MA+MB+MC` $\le$ `4R` `f)` `(1)/(MD)` `=` `(1)/(MB)`+ `(1)/(MC)`

`a)` `\Delta ABC` đều

`=>\hat{ABC}=\hat{ACB}=60°`

Vì `\hat{BMN}=\hat{ACB}=1/ 2 sđ\stackrel\frown{AB}`

`=>hat{BMN}=60°`

Mà `\Delta MBN` cân tại `M` (do `MB=MN)`

`=>\Delta MBN` đều (đpcm)

$\\$

`b)` `\Delta MBN` đều

`=>\hat{MBN}=60°`

`=>\hat{ABC}=\hat{MBN}`

`=>\hat{ABN}+\hat{NBC}=\hat{CBM}+\hat{NBC}`

`=>\hat{ABN}=\hat{CBM}`

$\\$

Xét `\Delta BNA` và `\Delta BMC` có:

`BN=BM` (`\Delta MBN` đều)

`\hat{ABN}=\hat{CBM}` (c/m trên)

`BA=BC` `(\Delta ABC` đều)

`=>\Delta BNA=\Delta BMC` (c-g-c) (đpcm)

$\\$

`c)` Ta có:

`\hat{AMB}=\hat{ACB}` (hai góc nội tiếp cùng chắn cung `AB)`

Mà `\hat{ACB}=\hat{ABC}=60°=\hat{ABD}`

 `=>\hat{ABD}=\hat{AMB}`

Xét `\Delta ABD` và `\Delta AMB` có:

`\hat{BAD}=\hat{MAB}`

`\hat{ABD}=\hat{AMB}` (c/m trên)

`=>\Delta ABD`$\backsim$`\Delta AMB` (g-g)

`=>{AB}/{AM}={AD}/{AB}`

`=>AD.AM=AB^2` (đpcm)

$\\$

`d)` Ta có:

`MA=MN+NA`

Mà `MN=MB` (gt)

`NA=MC` (vì `\Delta BNA=\Delta BMC)`

`=>MA=MB+MC` (đpcm)

$\\$

`e)` `M;A\in (O;R)`

`=>MA` là dây cung của `(O;R)`

`=>MA\le 2R` (vì đường kính là dây cung lớn nhất)

`=>MA+MA\le 4R`

`=>MA+MB+MC\le 4R`

(vì `MA=MB+MC)`

Dấu "=" xảy ra khi `MA` là đường kính 

`=>MA`$\perp BC$ tại trung điểm của `BC` (vì đường kính vuông góc tại trung điểm của dây cung)

`=>M\in ` đường trung trực của `BC`

`=>MB=MC`

`=>\stackrel\frown{MB}=\stackrel\frown{MC}` (hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau)

`=>M` là điểm chính giữa cung nhỏ `BC`

Vậy `MA+MB+MC\le 4R` và đẳng thức xảy ra khi `M` là điểm chính giữa cung nhỏ `BC`

$\\$

`f)` Ta có:

 `\hat{CMD}=\hat{ABC}` (hai góc nội tiếp cùng chắn cung `AC)`

`\hat{AMB}=\hat{ACB}` (hai góc nội tiếp cùng chắn cung `AB)`

Mà `\hat{ACB}=\hat{ABC}=60°`

 `=>\hat{CMD}=\hat{AMB}`

$\\$

Xét `\Delta MCD` và `\Delta MAB` có:

`\hat{MCD}=\hat{MAB}=1/ 2 sđ\stackrel\frown{MB}`

`\hat{CMD}=\hat{AMB}` (c/m trên)

`=>\Delta MCD`$\backsim$`\Delta MAB` (g-g)

`=>{MC}/{MA}={MD}/{MB}`

`=>MA.MD=MB.MC`

$\\$

Ta có: `1/{MB}+1/{MC}={MC+MB}/{MB.MC}`

`={MA}/{MA.MD}=1/{MD}` (vì `MA=MB+MC)`

`=>1/{MD}=1/{MB}+1/{MC}` (đpcm)