Xét tính liên tục của hàm số tại các điểm được chỉ ra: `f(x)=`$\begin{cases} \dfrac{2-7x+5x^2-x^3}{x^2-3x+2}\text{ (khi x $\ne$ 2)}\\1 \text{ (khi x = 2)}\end{cases}\text{tại x = 2.}$

Đáp án: hàm số bị gián đoạn tại điểm $x = 2$

Giải thích các bước giải:

$\begin{array}{l}
f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}
\dfrac{{2 - 7x + 5{x^2} - {x^3}}}{{{x^2} - 3x + 2}}\left( {khi\,x \ne 2} \right)\\
1\left( {khi:x = 2} \right)
\end{array} \right.\\
\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right)\\
 = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{2 - 7x + 5{x^2} - {x^3}}}{{{x^2} - 3x + 2}}\\
 = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{2 - x - 6x + 3{x^2} + 2{x^2} - {x^3}}}{{{x^2} - x - 2x + 2}}\\
 = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{\left( {2 - x} \right) - 3x\left( {2 - x} \right) + {x^2}\left( {2 - x} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 1} \right)}}\\
 = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{\left( {2 - x} \right)\left( {1 - 3x + {x^2}} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 1} \right)}}\\
 = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{1 + 3x - {x^2}}}{{x - 1}}\\
 = \dfrac{{1 + 3.2 - {2^2}}}{{2 - 1}}\\
 = 3\\
 \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) \ne f\left( 2 \right)\left( {do:f\left( 2 \right) = 1} \right)
\end{array}$

Vậy hàm số bị gián đoạn tại điểm $x = 2$