Tìm các giá trị của tham số m để hàm số y=mx^2 +2(m-1)x +2m +1 nghịch biến trên (-1;2)

Đáp án:

$m \in \left(-\infty; \dfrac{1}{3} \right].$

Giải thích các bước giải:

$y=mx^2 +2(m-1)x +2m +1 \\\circledast m=0$

$y=-2x+1$ luôn nghịch biến (TM)

$\circledast m \ne 0\\ y'=2mx+2(m-1)\\ y'=0 \Rightarrow x=\dfrac{1-m}{m}$

$+) m>0 \Rightarrow$ Hàm số nghịch biến trên $\left(-\infty;\dfrac{1-m}{m} \right)$

Để hàm số nghịch biến trên $(-1;2)$ thì $(-1;2) \subseteq \left(-\infty;\dfrac{1-m}{m} \right)$

$\Rightarrow \dfrac{1-m}{m} \ge 2$

$\Rightarrow 0<m \le \dfrac{1}{3} (TMĐK)$

$+) m<0 \Rightarrow$ Hàm số nghịch biến trên $\left(\dfrac{1-m}{m};+\infty \right)$

Để hàm số nghịch biến trên $(-1;2)$ thì $(-1;2) \subseteq \left(\dfrac{1-m}{m};+\infty \right)$

$\Rightarrow \dfrac{1-m}{m} \le -1\\\Rightarrow m<0 (TMĐK)$

Kết hợp các trường hợp ta được $m \in \left(-\infty; \dfrac{1}{3} \right].$