cho tam giác abc nhọn có BD và CE là các đg cao.Gọi G,H lần lượt là hình chiếu của B,C trên đg thẳng ED. Đg thẳng qua E vuông góc với AC cắt CH tại F a) Chứng minh BE=DF b)Gọi I là giao điểm của DE và BF. Chứng minh I là trung điểm của GH c) DF cắt EC tại M. Đường thẳng qua E song song với Ac cắt BD tại N. Chứng minh MN song song với BC

Giải thích các bước giải:

a.Ta có: $ED\perp CF, BD\perp AC\to CD\perp EF$

$\to D$ là trực tâm $\Delta ECF$

$\to FD\perp CE$

Mà $CE\perp AB$

$\to FD//AB\to FD//BE$

Mà $EF//BD(\perp AC)$

$\to BEFD$ là hình bình hành

$\to BE=DF$

b.Vì $BEFD$ là hình bình hành

$\to BE=FD, DE\cap BF=I$ là trung điểm mỗi đường

$\to I$ là trung điểm $ED, BF$

Xét $\Delta BEG,\Delta HDF$ có:

$\widehat{BEG}=\widehat{AED}=\widehat{FDH}$

$BE=DF$

$\widehat{EGB}=\widehat{FHD}(=90^o)$

$\to \Delta EGB=\Delta DHF$(cạnh huyền-góc nhọn)

$\to EG=DH$

$\to IG=IE+EG=ID+DH=IH$

$\to I$ là trung điểm $GH$

c.Gọi $EC\cap BD=J$

Ta có: $MD//BE\to \dfrac{JD}{JB}=\dfrac{JM}{JE}\to JD\cdot JE=JB\cdot JM$

          $EN//AC\to \dfrac{JN}{JD}=\dfrac{JE}{JC}\to JD\cdot JE=JN\cdot JC$

$\to JB\cdot JM=JN\cdot JC$

$\to \dfrac{JM}{JC}=\dfrac{JN}{JB}$

$\to MN//BC$