Cho tam giác ABC vuông tại A Tia phân giác của góc B cắt cạnh AC tại điểm D. Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho BA = BE. a)Chứng minh: tam giác ABC = tam giác EBD và BED = 90°. b)Gọi F là giao điểm của tia BA và tia ED. Chứng minh: DF = DC. c)Kẻ EM vuông góc với DC ( M thuộc DC) và AN vuông góc với DC ( N thuộc DF). Gọi I là giao điểm của AN vặt EM và . Chứng minh: 3 điểm B, D, I thẳng hàng.

`a.`

Xét `\triangle ABD` và `\triangle EBD` có:

`+BA=BE`(giả thiết)

`+hat{ABD}=hat{EBD}`(Do `BD` là tia phân giác của `hat{ABC}`)

`+BD:` cạnh chung

Do đó: `\triangle ABD=\triangle EBD(c-g-c)`

Suy ra `hat{BAD}=hat{BED}`

Mà `hat{BAD}=90^@`

`=>hat{BED}=90^@`

`b.`

Xét `\triangle ADF` và `\triangle EDC` có:

`+hat{FAD}=hat{DEC}`(cùng kề bù với góc `90^@`)

`+AD=ED`(Do `\triangle ABD=\triangle EBD`)

`+hat{ADF}=hat{EDC}`(hai góc đối đỉnh)

Do đó: `\triangle ADF=\triangle EDC(g-c-g)`

Suy ra: `DF=DC`(hai cạnh tương ứng)

`c.`

Ta có: `DA=DE`

`=>\triangle DAE` cân tại `D`

`=>hat{DAE}=hat{DEA}` hay : `hat{MAE}=hat{NEA}`

`=>90^@-hat{MAE}=90^@-hat{NEA}`

`=>hat{AEI}=hat{IAE}`(hai góc nhọn của tam giác vuông phụ nhau)

`=>\triangle IAE` cân tại `I`

`=>IA=IE`

`=>I` thuộc đường trung trực của `AE`

Ta có: `BA=BE`

`=>B` thuộc đường trung trực của `AE`

Lại có: `DA=DE`

`=>D` thuộc đường trung trực của `AE`

`=>B,D,I` thẳng hàng(Do cùng thuộc  đường trung trực của `AE`)