Cho `\overline{abc}` là số nguyên tố, chứng minh rằng `b^2 - 4ac` không phải số chính phương.

Đáp án:

 `b^2 - 4ac` không phải là số chính phương

Giải thích các bước giải:

 Giả sử `b^2 - 4ac` là số chính phương

Đặt `b^2 - 4ac = r^2`

Xét `4a . \overline{abc}`

` = 4a . (100a + 10b + c)`

` = 400a^2 + 40b + 4ac`

` = 400a^2 + 40b + b^2 - r^2`

` = (20a + b)^2 - r^2`

` = (20a + b-  r)(20a + b + r)`

`=> 4a = ( (20a + b- r)(20a + b + r))/(\overline{abc})`

Vì `a \in ZZ => 4a \in ZZ`

`=> (20a + b - r)(20a + b + r) \vdots \overline{abc}`

Mà `\overline{abc}` là số nguyên tố và `20a + b + r > 20a + b - r`

`=> 20a + b + r = \overline{abc} ; 20a + b - r = 1`

Ta có : `20a + b + r = 100a + 10b + c`

`=> 80a + 9b + c = r` (Vô lý do `r < 9b + c`)

`=>` Điều giả sử là sai

`=> đpcm`