Gọi: $d_{1},$ $d_{2},$ $d_{3},$ $d_{4}$ lần lượt là ước nhỏ nhất của số nguyên dương $n$. Biết: $n=d_{1}^{2}+d_{2}^{2}+d_{3}^{2}+d_{4}^{2}$ . Chứng minh rằng $n$ chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 4

Không mất tính tổng quát, giả sử: d1<d2<d3<d4

->d1=1

TH1: Xét n lẻ

-> n=1+d2^2 + d3^3 + d4^2

-> d2 ,d3,d4 lẻ -> d2^2 + d3^2 + d4^2 lẻ

Vậy n chẵn (mâu thuẫn)

-> n chẵn. -> d2 = 2

Vậy n = 5 + d3^2 + d4^2

Vậy d3 và d4 khác tính chẵn lẻ

Không mất tính tổng quát giả sử d3 lẻ, d4 chẵn

-> d3^2 ≡ 1 (mod 4) và d4^2 ≡ 0 (mod 4)

Lại có n = 1 + 4 + d3^2 + d4^2

-> n ≡ 2 (mod 4)

Vậy n không chia hết cho 4 (đpcm)