Cho tam giác ABC vuông tại A có AB > AC. Kẻ AH BC (H BC). Lấy điểm D thuộc tia đối của tia HA sao cho HD = HA. a) Chứng minh rằng Δ CAH = Δ CDH và tia CB là tia phân giác của ACD. b) Qua D kẻ một đường thẳng song song với AC cắt BC tại M và cắt AB tại K. Chứng minh ΔCHA = ΔMHD và AD là đường trung trực của CM. c) Kẻ BN AM (N AM). Chứng minh B, N, D thẳng hàng.

Giải thích các bước giải:

a) Xét `ΔCAH` và `ΔCDH` có:

`HA=HD` (gt)

`\hat{CHA}=\hat{CHD}=90^0 (AH⊥BC)`

` CH`: chung

`=> ΔCAH=ΔCDH` (c.g.c)

`=> \hat{ACH}=\hat{DCH} `

`=> CB` là tia phân giác của `\hat{ACD}`

b) $DM//AC$ `=> \hat{MDH}=\hat{CAH}` (so le trong)

Xét `ΔCHA` và `ΔMHD` có:

`\hat{CHA}=\hat{MHD}` (đối đỉnh)

`HA=HD` (gt)

`\hat{CAH}=\hat{MDH}` (cmt)

`=> ΔCHA=ΔMHD` (g.c.g)

`=> CH=MH => H` là trung điểm của `CM`

mà `AD⊥CM` tại `H` 

`=> AD` là đường trung trực của `CM`

c) `ΔABC` vuông tại `A => AB⊥AC`

mà $DK//AC$ `=> DK⊥AB`

Xét `ΔABD` có:

`DK` là đường cao `(DK⊥AB)`

`BH` là đường cao `(AH⊥BC; D∈AH; H∈BC)`

`DK` giao với `BH` tại `M`

`=> M` là trực tâm `ΔABD `

`=> AM⊥BD`

mà `AM⊥BN` (gt)

`=> B,M,N` thẳng hàng