Cho tam giác ABC vuông tại A, BD là phân giác góc B (D thuộc AC). Kẻ DE vuông góc với BC tại E a) Chứng minh BA = BE. b) Chứng minh BD là đường trung trực của AE. c) Kẻ Bx vuông góc với BD (Bx nằm trên nửa mặt phẳng bờ BD không chứa điểm A), trên tia Bx lấy điểm H sao cho BH = AE. Chứng minh HE vuông góc với AC. d) O là trung điểm của BE. Chứng minh A, O, H thẳng hàng.

Đáp án:

a) Xét hai tam giác vuông $\Delta ABD$ và $\Delta BDE$ có:

$\widehat{ABD}=\widehat{EBD}$ ($BD$ là phân giác $\widehat{ABC}$).

$BD$ là cạnh chung.

$\Rightarrow\Delta ABD=\Delta BDE$ (cạnh huyền-góc nhọn).

$\Rightarrow AB=BE$ (hai cạnh tương ứng).

b) $AB=BE\Rightarrow\Delta ABE$ cân (hai cạnh bên bằng nhau).

$\Delta ABE$ có đường phân giác $BD$

$\Rightarrow BD$ cũng là đường trung trực của $\Delta ABE$

$\Rightarrow BD$ là đường trung trực của $AE$.

c) $BD$ là đường trung trực của $AE$

$\Rightarrow AE\,\bot\,BD$ Mà $BD\,\bot\,HB$

$\Rightarrow AE//HB$ (từ vuông góc đến song song đảo).

Xét hai tam giác $\Delta ABH$ và $\Delta AHE$ có:

$AE=BH$ (giả thiết).

$\widehat{HAE}=\widehat{AHB}$ (hai góc so le trong, $AE//HB$).

$AH$ là cạnh chung

$\Rightarrow\Delta ABH=\Delta AHE$ (cạnh-góc-cạnh).

$\Rightarrow \widehat{BAH}=\widehat{AHE}$ (hai góc tương ứng).

$\Rightarrow AB//HE$ (cặp góc so le trong) mà $AB\,\bot\,AC$

$\Rightarrow HE\,\bot\,AC$ (từ vuông góc đến song song đảo).

d) Xét hai tam giác $\Delta AOE$ và $\Delta BOH$ có:

$AE=BH$ (giả thiết).

$\widehat{AEO}=\widehat{OBH}$ ($AE//HB$)

$OB=OE$ ($O$ là trung điểm $BE$).

$\Rightarrow\Delta AOE=\Delta BOH$ (cạnh-góc-cạnh).

$\Rightarrow\widehat{AOE}=\widehat{BOH}$ (hai góc tương ứng).

Ta có $O\in BE\Rightarrow\widehat{AOB}+\widehat{AOE}=180^\circ$

$\Rightarrow\widehat{AOB}+\widehat{BOH}=180^\circ$

$\Rightarrow\widehat{AOH}=180^\circ\Rightarrow O\in AH$

$\Rightarrow A,O,H$ thẳng hàng.