cho nửa (O) đường kính AB=2R và điểm C nằm ngoài nủa đường tròn và cùng phía với nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB và chứa nửa đường tròn. CA cắt nửa đường tròn ở M. CB cắt nửa đường tròn ở N. Gọi H là giáo điểm của AN và BM. a) Chứng minh CH vuông góc AB b) Gọi I là trung điểm của CH. Chứng minh MI là tiếp tuyến của nủa đường tròn (O)

Đáp án:

 

Giải thích các bước giải:

 a) O là trung điểm của AB ⇒ MO là đường trung tuyến của ΔMAB

Lại có OA=OB =OM ⇒ OM =AB/2 ⇒ ΔMAB vuông tại M (t/c đường trung tuyến =1/2 cạnh huyền)

⇒ BM ⊥AC (1)

NO là đường trung tuyến của ΔNAB ( do O là trung điểm AB )

Lại có OA=OB +ON =AB/2 ⇒ ΔNAB vuông tại N (t/c đường trung tuyến =1/2 cạnh huyền)

⇒ AN ⊥BC (2)

Từ (1) và (2) ⇒ H là giao điểm 2 đường cao AN, BM của ΔABC ⇒ CH cũng thuộc đường cao của ΔABC ⇒ CN ⊥ AB ( đpcm)

b) I là  trung điểm của HC ⇒ MI là đường trung tuyến của ΔHMC vuông tại M

⇒ IM =IH =IC

⇒ ΔMIH cân tại I ⇒ ∠IMH =∠IHM

Gọi D là giao điểm của AB và AN ⇒ ∠HDB =90 độ (cmt)

Ta có  ∠IHM =∠DHB ( 2 góc đối đỉnh ) ⇒ ∠IMH = ∠DHB

Do OM=OB  ⇒ ΔMOB cân tại O ⇒ ∠OMB =∠OBM =∠DBH (3)

∠DBH + ∠DHB = 90 độ ( do ΔDHB vuông tại H)

⇒ ∠OMB +∠DHB =90 độ (4)

Từ (3) và (4) ⇒ ∠OMB  + ∠HMI =90 độ

⇒ OM ⊥ MI ⇒ MI là tiếp tuyến của đường tròn (O) (đpcm)