Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân ,biết: U3+U5=90 và U2-U6=240

Đáp án + Giải thích các bước giải:

Ta có:`u_3 + u_5 = 90`

`\iff u_1 . q^2 + u_1.q^4 = 90`

`\iff u_1.q^2(1 + q^2)=90`

`\iff u_1 = \frac{90}{q^2(1+q^2)}(1)`

Lại có:`u_2 - u_6 = 240`

`\iff u_1.q - u_1.q^5 = 240`

`\iff u_1.q(1 - q^4) = 240`

`\iff u_1 = \frac{240}{q(1-q^4)}(2)`

Từ `(1)` và `(2)` ta suy ra:

`\frac{90}{q^2(1+q^2)} = \frac{240}{q(1-q^4)}`

`\iff \frac{3}{q(1+q^2)} = \frac{8}{1-q^4}`

`\iff 3(1-q^4) = 8q(1+q^2)`

`\iff 3 - 3q^4 = 8q + 8q^3`

`\iff 3q^4 + 8q^3 + 8q - 3 = 0`

`\iff (q+3)(3q-1)(q^2+1)=0`

`\iff` $\left[\begin{matrix} q+3=0\\ 3q-1=0\\ q^2 + 1 = 0(\text{không tồn tại q thỏa}\end{matrix}\right.$

`\iff` $\left[\begin{matrix} q=-3\\ q=\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.$

Với `q=-3` thì số hạng đầu là `u_1 = \frac{90}{(-3)^2(1+(-3)^2)}=1`

Với `q = 1/3` thì số hạng đầu là ` u_1 = \frac{90}{(1/3)^2(1+(1/3)^2)}=1`