Cho 2 số nguyên dương x,y thỏa mãn x^2-4y+1 chia hết cho (x-2y)(2y-1). Chứng minh |x-2y| là số chính phương

Đáp án`:`

Vì `x^2-4y+1` chia hết cho `(x-2y)(2y-1)`

`->` tồn tại số nguyên `k` sao cho `x^2-4y+1=k(x-2y)(2y-1)`

`->x^2-4y^2+4y^2-4y+1=k(x-2y)(2y-1)`

`->(2y-1)^2=(x-2y)[k(2y-1)-(x+2y)]`

Gọi ƯCLN của `x-2y` và `k(2y-1)-(x+2y)` là `d (d in NN**)`

Suy ra `{(x-2y\vdotsd),(k(2y-1)-(x+2y)\vdotsd):}` `->(2y-1)^2``\vdots``d->2y-1``\vdots``d`

Do đó `{(x-2y\vdotsd),(x+2y\vdotsd),(2y-1\vdotsd):}` `->` `{(4y\vdotsd),(2y-1\vdotsd):}` `->` `{(4y\vdotsd),(4y-2\vdotsd):}`

`->2\vdotsd->d in {1;2}`

Vì `2y-1` lẻ nên `d` lẻ cho nên `d=1`

Suy ra `|x-2y|` là số chính phương `(`ĐPCM`)`