cho x,y là các số thực dương thoả mãn 2xy=x+y.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A=x/1+2x^2 + y/1+2y^2

Đáp án`:`

Ta có `x+y=2xy` suy ra `1/x+1/y=2`

Đặt `a=1/x ; b=1/y`. Khi đó `a,b >0` và `a+b=2.`

`A=x/(1+2 x^2)+y/(1+2y^2)=` $\dfrac{\dfrac{1}{x}}{\dfrac{1}{x^2} + 2}$ `+` $\dfrac{\dfrac{1}{y}}{\dfrac{1}{y^2} + 2}$ `=a/(a^2+2)+b/(b^2+2)`

Vì `a/(a^2+2)=a/((a^2+1)+1) <= a/(2a+1)=1/2 (1-1/(2a+1))`

Tương tự ta cũng có `b/(b^2+2) <= 1/2 (1-1/(2b+1))`

Như vậy `A <= 1-1/2 (1/(2a+1)+1/(2b+1))`

`-> A<= 1-1/2 . 4/(2(a+b)+2) <= 1-1/2 . 4/6=2/3`

Dấu bằng xảy ra khi `a=b=1` `->x=y=1.`

Vậy Max `A=2/3` khi `x=y=1.`