Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều, tam giác SCD vuông cân tại S. Gọi I và J là trung điểm của AB và CD. a) Tính các cạnh của tam giác SIJ . CMR: SI  (SCD), SJ  (SAB). b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên IJ. CMR: SH  AC.

a) $\Delta SAB$ đều cạnh $a$ có $SI=\dfrac{a\sqrt3}{2}$

$\Delta SCD$ vuông cân đỉnh $S\Rightarrow SJ=CJ=DJ=\dfrac{CD}{2}=\dfrac a2$

$SC=SD=\dfrac a{\sqrt2}, IJ=AD=BC=a$

Xét $\Delta SIJ,$ có:

$IJ^2=AD^2=a^2$

$SI^2+SJ^2=\dfrac{3a^2}{4}+\dfrac{a^2}{4}=a^2$

$\Rightarrow IJ^2=SI^2+SJ^2\Rightarrow\Delta SIJ\bot S$ (định lý Pitago đảo)

$\Rightarrow SI\bot SJ$ (1)

Áp dụng định lý Pitago vào $\Delta IBC\bot B$ có:

$IC^2=BI^2+BC^2=\dfrac{a^2}{4}+a^2=\dfrac{5a^2}{4}$

Xét $\Delta SIC$ có:

$SI^2+SC^2=\dfrac{3a^2}{4}+\dfrac{a^2}{2}=\dfrac{5a^2}{4}=IC^2$

$\Rightarrow \Delta SIC\bot S$ (theo định lý Pitago đảo)

$SI\bot SC$ (2)

Từ (1) và (2) ta có:

$\left\{\begin{array}{I}SI\bot SJ\\SI\bot SC\\SJ,SC\subset(SCD)\end{array}\right.\Rightarrow SI\bot(SCD)$

Chứng minh tương tự $SJ\bot(SAB)$

b) Ta có: 

$\left\{\begin{array}{I}CD\bot IJ \\CD\bot SI(\text{do }SI\bot(SCD))\end{array}\right.\Rightarrow CD\bot(SIJ)$

Mà $SH\subset(SIJ)\Rightarrow CD\bot SH$

$\left\{\begin{array}{I}SH\bot IJ(\text{giả thiết})\\CD\bot SH(cmt)\\IJ,CD\subset(ABCD)\end{array}\right.\Rightarrow SH\bot(ABCD)$.