Tìm nghiệm nguyên của phương trình `:` `x^2y+2y-2x+1=0`

Đáp án+Giải thích các bước giải:

Cách `1` :

`x^2 y+2y-2x+1=0`

`<=>x^2 y -2x+(2y+1)=0(1)`

$\bullet$ Với `y=0`, khi đó phương trình `(1)<=>x^2 . 0-2x+(2.0+1)=0`

`<=>0-2x+(0+1)=0`

`<=>0-2x+1=0`

`<=>1-2x=0`

`<=>2x=1`

`<=>x=1/2(ktm)`

$\bullet$ Với `y\ne 0`, ta có :

`\Delta =b^2 -4ac=(-2)^2 -4y(2y+1)=4-8y^2 -4y`

Phương trình có nghiệm `<=>\Delta >=0`

`<=>4-8y^2 -4y>=0`

`<=>4(-2y^2 -y+1)>=0`

`<=> -2y^2 -y+1>=0`

`<=> -2y^2 -2y+y-1>=0`

`<=> -2y(y+1)+(y+1)>=0`

`<=>(1-2y)(y+1)>=0`

`<=>` \(\left[ \begin{array}{l}\begin{cases}1-2y\geq 0\\y+1\geq 0\end{cases}\\\begin{cases}1-2y\leq 0\\y+1\leq 0\end{cases}\end{array} \right.\) 

`<=>` \(\left[ \begin{array}{l}\begin{cases}y\leq \dfrac{1}{2}\\y\geq -1\end{cases}\\\begin{cases}y\geq \dfrac{1}{2}\\y\leq -1\end{cases}\text{ ( vô lí )}\end{array} \right.\) 

`<=> -1<=x<=1/2` 

Mà `y\in ZZ=>y=-1`

Thay vào `(1)`, ta được : 

`x^2 . (-1)-2x+[2.(-1)+1]=0`

`<=> -x^2 -2x-1=0`

`<=> -(x^2 +2x+1)=0`

`<=> -(x+1)^2 =0`

`<=>x+1=0`

`<=>x=-1(tm)`

Vậy phương trình có nghiệm `(x;y)=(-1;-1)`

Cách `2` :

`x^2 y +2y-2x+1=0(1)`

$\bullet$ Với `y=0`, khi đó phương trình `(1)<=>x^2 . 0+2.0-2x+1=0`

`<=>0+0-2x+1=0`

`<=> 1-2x=0`

`<=>2x=1`

`<=>x=1/2(ktm)`

$\bullet$ Với `y\ne 0`, nhân cả `2` vế của phương trình `(1)` với `y`, ta được :

`x^2 y^2 +2y^2 -2xy+y=0`

`<=>(x^2 y^2 -2xy+1)+(2y^2 +y-1)=0`

`<=>[(xy)^2 -2.xy.1+1^2]+(2y^2 -y+2y-1)=0`

`<=>(xy-1)^2 +[y(2y-1)+(2y-1)]=0`

`<=>(xy-1)^2 +(y+1)(2y-1)=0`

$*$ Nếu `y>1/2`, ta có :

`(xy-1)^2 +(y+1)(2y-1) >(xy-1)^2 +(1/2+1)(2. 1/2-1)=(xy-1)^2 +3/2 . 0=(xy-1)^2 +0=(xy-1)^2 >=0`

Hay `VT>0`

Mà `VP=0`

`=>` Vô lí

$*$ Nếu `y< -1`, ta có :

$\begin{cases}y+1 < -1+1=0 \\2y-1 < -1 . 2-1=-2-1=-3\end{cases}$

`=>(y+1)(2y-1)>0`

`=>(y+1)(2y-1)+(xy-1)^2 >0`

Hay `VT>0`

Mà `VP=0`

`=>` Vô lí

$*$ Nếu `-1 <=y<=1/2` :

Mà `x\in ZZ=>y= -1`

Thay vào `(1)`, ta được : `x^2 . (-1)+2.(-1)-2x+1=0`

`<=> -x^2 -2-2x+1=0`

`<=> -x^2 -2x-1=0`

`<=> -(x^2 +2x+1)=0`

`<=> -(x+1)^2 =0`

`<=>x+1=0`

`<=>x=-1(tm)`

Vậy phương trình có nghiệm `(x;y)=(-1;-1)`