(HSG cấp tỉnh - Thanh Hóa 2022-2023) giải hpt `{(x^3+3xy^2+49=0),(x^2-8xy+y^2=8y-17x):}`

Đáp án+Giải thích các bước giải:

$\begin{cases}x^3 +3xy^2 +49=0\\x^2 -8xy+y^2 =8y-17x\end{cases}$

`<=>` $\begin{cases}x^3 +3xy^2 +49=0(1)\\3x^2 -24xy+3y^2 =24y-51x(2)\end{cases}$

Lấy phương trình `(1)+` phương trình `(2)` theo vế, ta được :

`x^3 +3xy^2 +49+3x^2 -24xy+3y^2 =24y-51x`

`<=>x^3 +3xy^2 +49+3x^2 -24xy+3y^2 -24y+51x=0`

`<=>(x^3 +3x^2 +3x +1)+3(xy^2 +16-8xy+y^2 -8y+16x)`

`<=>(x+1)^3 +3[(xy^2 -8xy+16x)+(y^2 -8y+16)]`

`<=>(x+1)^3 +3[x(y^2 -8y+16)+(y^2 -8y+16)]`

`<=>(x+1)^3 +3(x+1)(y^2 -8y+16)=0`

`<=>(x+1)^3 +3(x+1)(y-4)^2 =0`

`<=>(x+1)[(x+1)^2 +3(y-4)^2]=0`

Trường hợp `1` : `x+1=0`

`<=>x=-1`

Thay vào `(1)`, ta được : `(-1)^3 +3.(-1).y^2 +49=0`

`<=> -1-3y^2 +49=0`

`<=>3y^2 =48`

`<=>y^2 =16`

`<=>y^2 =(+-4)^2`

`<=>y=+-4`

Trường hợp `2` : `(x+1)^2 +3(y-4)^2 =0`

Do `{:((x+1)^2 >=0AAx),(3(y-4)^2 >=0AAy):}}=>(x+1)^2 +3(y-4)^2 >=0AAx;y`

Dấu "=" xảy ra `<=>` $\begin{cases}x+1=0\\y-4=0\end{cases}$

`<=>` $\begin{cases}x=-1\\y=4\end{cases}$

Thử vào hệ phương trình ta thấy thoả mãn 

Vậy hệ phương trình có nghiệm `(x;y)=(-1;4),(-1;-4)`