Cho đường tròn (o) đường kính AB .lấy điểm C thuộc (o) .tiếp tuyến A của (o) cắt đường thẳng BC tại Db.gọi E là trung điểm của AD .a) chứng minh ec là tiếp tuyến của (o).b) chứng minh eo vuông góc với AC tại trung điểm i của AC

$a/~\Delta ABC$ có trung tuyến $CO$.

Và $OC=OA=OB~(=R)$

Nên $\Delta ABC\bot$ tại $C$. (Tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông)

$\Rightarrow\widehat{ACB}=\widehat{ACD}=90^o$

$\Delta ACD\bot$ tại $C$, trung tuyến $CE$.

Suy ra: $CE=AE$ (Tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông)

Xét $\Delta AEO$ và $\Delta CEO$

Có $OA=OC~(=R)$

$OE$ chung.

$AE=CE$ (cmt)

Nên $\Delta AEO=\Delta CEO$ (c.c.c)

Suy ra: $\widehat{EAO}=\widehat{ECO}=90^o$ (Hai góc tương ứng)

Hay $EC\bot OC$ tại $C$.

$\Rightarrow EC$ là tiếp tuyến của $(O)$

Vậy $EC$ là tiếp tuyến của $(O)$. (đpcm)

$b/$ Gọi $I$ là giao điểm của $EO$ và $AC$

Ta có: $AE=CE$ (cmt)

Nên $E$ nằm trên đường trung trực của $AC$ (Tính chất đường trung trực)

$OA=OC~(=R)$

Nên $O$ nằm trên đường trung trực của $AC$ (Tính chất đường trung trực)

Suy ra $EO$ là đường trung trực của $AC$.

Nên $EO\bot AC$ tại $I,IA=IC$

Vậy $EO\bot AC$ tại trung điểm $I$ của $AC$. (đpcm)