Cho họ đường tròn $(Cm)$ có phương trình: $x^{2} + y^{2} - 4mx - 2my + \dfrac{9}{2}m^{2} - m - \dfrac{1}{2} = 0$. Tìm $m$ để $(Cm)$ tiếp xúc với $\Delta : x + y - 2 = 0,$ tiếp xúc với đường tròn $(C): x^{2} + y^{2} - 6y + 7 = 0.$

Đáp án:

- Để (Cm) tiếp xúc Δ thì: m = 1/4; m = 3/2

- Để (Cm) tiếp xúc (C) thì : m = 1/3; m = 3 ( tiếp xúc ngoài)

 

Giải thích các bước giải:

(Cm) : x² + y² - 4mx - 2my + 9m²/2 - m - 1/2 = 0 (1)

⇔ (x - 2m)² + (y - m)² = (1/2)(m + 1)² ⇒ tâm Im(2m; m); Bán kính Rm = |m + 1|/√2

Δ : x + y - 2 = 0 ⇔ y = 2 - x (2)

(C) : x² + y² - 6y + 7 = 0 (3)

⇔ (x - 3)² + y² = 2 ⇒ tâm I(3;0); Bán kính R = √2

@ Để (Cm) tiếp xúc Δ thì HPT gồm (1) và (2) phải có nghiệm kép. Thay (2) vào (1):

x² + (2 - x)² - 4mx - 2m(2 - x) + 9m²/2 - m - 1/2 = 0

⇔ 4x² - 4(m + 2)x + 9m² - 10m + 7 = 0

Δ' = [-2(m + 2)]² - 4(9m² - 10m + 7) = - 4(8m² - 14m + 3) = - 4(4m - 1)(2m - 4) = 0

⇔ m = 1/4; m = 3/2

@ Để (Cm)  tiếp xúc (C) thì:  ImI = Rm + R

⇔ ImI² = (|Rm ± R|)²

⇔ (2m - 3)² + (m - 0)² = (|m + 1|/√2 ± √2)²

⇔ 5m² - 12m + 9 = (m² + 2m + 5 ± 4|m + 1|)/2

⇔ 9m² - 26m + 13 = ± 4|m +1|

- Xét trương hợp (Cm) tiếp xúc ngoài với (C) : 9m² - 26m + 13 = 4|m +1| (*)

- Nếu m ≤ - 1 ⇔ m + 1 ≤ 0 thì (*) tương đương:

9m² - 26m + 13 = - 4(m +1)

⇔ 9m² - 22m + 17 = 0 ⇒ vô nghiệm

- Nếu m > - 1 ⇔ m + 1 > 0 thì (*) tương đương:

9m² - 26m + 13 = 4(m +1)

⇔ 3m² - 10m + 3 = 0

⇔ m = 1/3; m = 3 (thỏa)

- Xét trương hợp (Cm) tiếp xúc trong với (C) : 9m² - 26m + 13 = - 4|m +1| (*)

- Nếu m ≤ - 1 ⇔ m + 1 ≤ 0 thì (*) tương đương:

9m² - 26m + 13 = 4(m +1)

⇔ 3m² - 10m + 3 = 0

⇔ m = 1/3; m = 3 ( không thỏa)

- Nếu m > - 1 ⇔ m + 1 > 0 thì (*) tương đương:

9m² - 26m + 13 = - 4(m +1)

⇔ 9m² - 22m + 17 = 0 ⇒ vô nghiệm