1.Cho pt: x^2 - 2(m+1) + m^2 +4 = 0 ( m là tham số) Tìm m đề pt có 2 nghiệm x1, x2 t/mãn : x1^2+2.m.x2 = 9 2. Cho phương trình x^2 – 2(m + 1) x + m^2+ 4 = 0 (m là tham số) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn : x1^2 + 2(m+1).x2 ≤ 3m^2 +16

Đáp án:  

1) Không có $m$ thỏa mãn  

2) \(\dfrac{3}{2} \le x \le 2\)

Giải thích các bước giải:

1) $x^2-2(m+1)x+m^2+4=0$

Để phương trình có 2 nghiệm thì

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{ \to {m^2} + 2m + 1 - {m^2} - 4 \ge 0}\\
{ \to 2m - 3 \ge 0}\\
{ \to m \ge \dfrac{3}{2}}\\
{{\text{Theo Vi - et ta có :}}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x_1} + {x_2} = 2(m + 1)}\\
{{x_1}.{x_2} = {m^2} + 4{\rm{\;}}}
\end{array}} \right.}\\
{ \Rightarrow {x_1}^2 + 2m{x_2} = 9}\\
{ \to {x_1}^2 + \left( {2m + 2 - 2} \right){x_2} = 9 \to {x_1}^2 + 2\left( {m + 1} \right){x_2} - 2{x_2} = 9}\\
{ \to {x_1}^2 + \left( {{x_1} + {x_2}} \right){x_2} - 2{x_2} = 9}\\
{ \to {x_1}^2 + {x_1}{x_2} + {x_2}^2 - 2{x_2} = 9}\\
{ \to {x_1}^2 + 2{x_1}{x_2} + {x_2}^2 - {x_1}{x_2} - 2{x_2} = 9}\\
{ \to {{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - {x_1}{x_2} - 2{x_2} = 9}\\
{ \to \left[ \begin{array}{l}
{\left( {2m + 2} \right)^2} - {m^2} - 4 - 2\left( {m + 1 + \sqrt {2m - 3} } \right) = 9\\
{\left( {2m + 2} \right)^2} - {m^2} - 4 - 2\left( {m + 1 - \sqrt {2m - 3} } \right) = 9
\end{array} \right.}\\
{ \to \left[ \begin{array}{l}
4{m^2} + 8m + 4 - {m^2} - 4 - 2m - 2 - 2\sqrt {2m - 3} {\rm{\;}} = 9\\
4{m^2} + 8m + 4 - {m^2} - 4 - 2m - 2 + 2\sqrt {2m - 3} {\rm{\;}} = 9
\end{array} \right.}\\
{ \to \left[ \begin{array}{l}
3{m^2} + 6m - 11 = 2\sqrt {2m - 3} \\
2\sqrt {2m - 3}  =  - 3{m^2} - 6m + 11
\end{array} \right.}\\
{ \to \left[ \begin{array}{l}
9{m^4} + 36{m^2} + 121 + 36{m^3} - 66{m^2} - 132m = 8m - 12\\
9{m^4} + 36{m^2} + 121 + 36{m^3} - 66{m^2} - 132m = 8m - 12
\end{array} \right.}\\
{ \to 9{m^4} + 36{m^3} - 30{m^2} - 140m + 133 = 0}
\end{array}\)

⇒ Phương trình vô nghiệm

⇒ Không tồn tại $x$ thỏa mãn điều kiện

2) Để phương trình có 2 nghiệm 

\(\begin{array}{l}  \to {m^2} + 2m + 1 - {m^2} - 4 \ge 0\\  \to 2m - 3 \ge 0\\  \to m \ge \dfrac{3}{2}\\  \to \left[ \begin{array}{l} x = m + 1 + \sqrt {2m - 3} \\ x = m + 1 - \sqrt {2m - 3}  \end{array} \right.\\ \text{Có: }{x_1}^2 + 2\left( {m + 1} \right){x_2} \le 3{m^2} + 16\\  \to {x_1}^2 + \left( {{x_1} + {x_2}} \right){x_2} \le 3{m^2} + 16\\  \to {x_1}^2 + {x_1}{x_2} + {x_2}^2 \le 3{m^2} + 16\\  \to {x_1}^2 + 2{x_1}{x_2} + {x_2}^2 - {x_1}{x_2} \le 3{m^2} + 16\\  \to {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - {x_1}{x_2} \le 3{m^2} + 16\\  \to {\left( {2m + 2} \right)^2} - {m^2} - 4 \le 3{m^2} + 16\\  \to 4{m^2} + 8m + 4 - {m^2} - 4 \le 3{m^2} + 16\\  \to 3{m^2} + 8m \le 3{m^2} + 16\\  \to 8m \le 16\\  \to m \le 2\\ \text{Kết luận: }2 \ge m \ge \dfrac{3}{2} \end{array}\)