Cho tam giác ABC. Gọi I là trung điểm của AB. Trên tia đối của tia IC lấy điểm M sao cho IM=IC. a. Chứng minh AIM = BICvà AM // BC. b. Gọi E là trung điểm của AC. Trên tia đối của tia EB lấy điểm N sao chó EN=EB. Chứng minh AN//BC. c. Chứng minh ba điểm M, A, N thẳng hàng và A là trung điểm của MN. (Vẽ hình và nhanh ạ)

a) Vì ∠AIM đối đỉnh với ∠BIC

⇒∠AIM = ∠BIC

    Vì I là trung điểm của AB

⇒ IA = IB

   Xét ΔAIM và ΔBIC có:

     IA = IB ( CM trên )

    ∠AIM = ∠BIC ( CM trên )

     IM = IC ( giả thiết )

⇒ ΔAIM = ΔBIC ( c.g.c )

⇒ ∠MAI = ∠CBI ( hai góc tương ứng )

Mà hai góc này ở vị trí so le trong

⇒ AM // BC

b) Xét ΔCEB và ΔAEN có:

      EA=EC ( do E là trung điểm của AC )

      ∠BEC = ∠NEA ( đối đỉnh )

      EN = EB ( giả thiết )

⇒ΔCEB = ΔAEN ( c.g.c )

⇒ ∠NAE = ∠BCE ( hai cạnh tương ứng )

Mà hai góc này ở vị trí so le trong

⇒ AN // BC

c) Từ phần a và phần b, ta có:

    AM // BC

    AN // BC          (1)

  Lại có:

  Tiên đề euclid: qua 1 điểm nằm ngoài đường thẳng cho trước, chỉ có 1 đường thẳng đi qua điểm đó và song song với đường thẳng cho trước.  (2)

  Từ (1) và (2) ⇒ AM trùng với AN

                      ⇒ M, A, N thẳng hàng

  Ta có: ΔAIM = ΔBIC

⇒ AM = BC ( hai cạnh tương ứng )  (3)

            ΔNEA = ΔBEC

⇒ AN = BC ( hai cạnh tương ứng )   (4)

 Từ (3) và (4) ⇒ AM = AN = BC

 Mà M, A, N thẳng hàng

⇒ A là trung điểm của MN.