hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc mp đáy, SA=a √6. Tính góc giữa a)SC và (SAB) b)SB và (SAC) c)AC và (SBC)

a) Ta có:

$\left\{\begin{array}{I}CB\bot AB\\CB\bot SA\end{array}\right.\Rightarrow CB\bot (SAB)$

$\Rightarrow B$ là hình chiếu của $C$ lên $(SAB)$

$\Rightarrow(SC,(SAB))=(SC,SB)=\widehat{CSB}$

Từ $CB\bot (SAB)\Rightarrow CB\bot SB$

$\Delta SBC\bot B$ có $BC=a, SB=\sqrt{AB^2+SA^2}=a\sqrt7$

$\tan\widehat{CSB}=\dfrac{BC}{SB}=\dfrac{a}{a\sqrt7}=\dfrac1{\sqrt7}$

$\Rightarrow (SC,(SAB))=\widehat{CSB}=\arctan\dfrac1{\sqrt7}≈20,7^o$

b) Ta có:

$\left\{\begin{array}{I}BD\bot AC\\BD\bot SA\end{array}\right.\Rightarrow BD\bot (SAC)$

Gọi $O=AC\cap BD$

$\Rightarrow O$ là hình chiếu của $B$ lên $(SAC)$

$\Rightarrow(SB,(SAC))=(SB,SO)=\widehat{BSO}$

Ta có $BD\bot (SAC)$ (chứng minh trên) $\Rightarrow BO\bot SO$

$\Delta BSO\bot O$ có $BO=\dfrac a{\sqrt2},SB=a\sqrt7$

$\Rightarrow\sin\widehat{BSO}=\dfrac{BO}{SB}=\dfrac{1}{\sqrt{14}}$

$\Rightarrow(SB,(SAC))=\widehat{BSO}=\arcsin\dfrac{1}{\sqrt{14}}≈15,5^o$

c) Tam giac $SAB$ dựng $AF\bot SB$

Ta có $BC\bot(SAB)$ (chứng minh trên) nên $BC\bot AF$

$\Rightarrow AF\bot(SBC)$

Suy ra F là hình chiếu của A lên $(SBC)$

$\Rightarrow (AC,(SBC))=(AC,FC)=\widehat{ACF}$

Từ $AF\bot(SBC)\Rightarrow AF\bot CF$

$\Rightarrow\Delta ACF\bot F$ có $AC= a\sqrt2$

$\Delta SAB:\dfrac{1}{AF^2}=\dfrac{1}{AS^2}+\dfrac1{AB^2}$

$\Rightarrow AF=\dfrac{a\sqrt6}{\sqrt7}$

$\Rightarrow \sin\widehat{ACF}=\dfrac{AF}{AC}=\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt7}$

$\Rightarrow(AC,(SBC))=\widehat{ACF}=\arcsin\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt7}≈40,89^o$.