Cho tam giác ABC có đường cao BH, đường trung tuyến CE, đường phân giác AD đồng quy tại điểm I, kẻ EM vuông góc với BH. Chứng minh EM = 1/2 AH *** đúng hứa vote 5⭐ luôn***

xét `triangleBAH`

`EM` // `AH` (cùng `bot BH`)

`E` là trung điểm `AB` (`CE` là trung tuyến `AB`)

`=>EM` là đường trung bình `triangleBAH`

`=>EM=1/(2) AH` (đpcm)

ta có: `(DB)/(CD)=(AB)/(AC)` (tính chất đường phân giác trong)

lại có: `cos A=(AH)/(AB)`

`cos C=(HC)/(BC)`

`=>(cos A)/(cos C)=(AH*BC)/(AB*CH)`

giả sử `(cos A)/(cos C)=(BC)/(AC)`

`(AH*BC)/(AB*CH)=(BC)/(AC)`

`<=>(AH)/(AB*CH)=1/(AC)`

`<=>(AH)/(CH)=(AB)/(AC)` `(1)`

mà `(AH)/(HC)*(CD)/(DB)*(BE)/(EA)=1` (định lý Ceva)

`<=>(AH)/(HC)*(CD)/(DB)*1=1`

`=>(AH)/(HC)=(DB)/(CD)` `(2)`

Từ `(1)` và `(2) => (DB)/(CD)=(AB)/(AC)` (luôn đúng (cmt))

Vậy ta có đpcm

`#ligant`