helppppppppppppppppppp

Đáp án+Giải thích các bước giải:

$a) \Delta ABC$ vuông tại $A$ nội tiếp $(O)$

$\Rightarrow O$ là trung điểm $BC$

$\Rightarrow OA=OB=OC=\dfrac{BC}{2}=5(cm)$

$\Delta OAB $ cân tại $O (OA=OB)$, trung tuyến $OE$ đồng thời là đường cao

$\Rightarrow OE \perp AB$

$E$ là trung điểm $AB \Rightarrow AE=EB=\dfrac{1}{2}AC=3(cm)$

$\Delta OAE$ vuông tại $E$

$\Rightarrow OA^2=OE^2+AE^2\\ \Rightarrow OE=\sqrt{OA^2-AE^2}=3(cm)$

$\Delta OAD$ vuông tại $A$, đường cao $AE$

$\Rightarrow AO^2=OE.OD$

$\Rightarrow OD=\dfrac{AO^2}{OE}=\dfrac{25}{3} (cm)$

$b) \Delta OAB$ cân tại $O (OA=OB)$, trung tuyến $OE$ đồng thời là phân giác

$\Rightarrow \widehat{O_1}=\widehat{O_2}$

Xét $\Delta OAD$ và $\Delta OBD:$

$OD:$ chung

$\widehat{O_1}=\widehat{O_2}\\ OA=OB\\ \Rightarrow \Delta OAD = \Delta OBD (c.g.c)\\ \Rightarrow \widehat{OAD}= \widehat{OBD}\\ \Rightarrow  \widehat{OBD} =90^\circ\\ \Rightarrow  OB \perp DB$

$DB$ vuông góc với bán kính $OB$ tại tiếp điểm $B$

$\Rightarrow  DB$ là tiếp tuyến $(O)$

$c) (I)$ tiếp xúc với $AB, AC$

$\Rightarrow I$ thuộc phân giác $\widehat{BAC}$

Mà $I \in BC$, ta xác định được $I$ như hình vẽ

$(I)$ tiếp xúc với $AB, AC $ lần lượt tại $H, K $

$\Rightarrow IH \perp AB, IK \perp AC$

Tứ giác $AHIK$ có $3$ góc vuông tại $3$ đỉnh $A,H,K $

$\Rightarrow$ Tứ giác $AHIK$ là hình chữ nhật

Mà $IH=IK$

$\Rightarrow$ Tứ giác $AHIK$ là hình vuông

$\Delta ABC$ vuông tại $A \Rightarrow AC=6(cm)$

$\sin \widehat{B_1}=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{3}{5}$

$\Delta ABC$, phân giác $AI$

$\Rightarrow \dfrac{BI}{CI}=\dfrac{AB}{AC}\\ \Rightarrow \dfrac{BI}{CI+BI}=\dfrac{AB}{AC+AB}\\ \Rightarrow \dfrac{BI}{BC}=\dfrac{AB}{AC+AB}\\ \Rightarrow BI=\dfrac{AB.BC}{AC+AB}=\dfrac{40}{7} (cm)$

$\Delta BHI$ vuông tại $H$

$\Rightarrow HI=BI \sin \widehat{B_1}=\dfrac{24}{7}(cm)\\ S_{AHIK}=HI^2=\dfrac{576}{49}(cm^2).$