Cho đồ thị hàm số y = -x^4 +2mx^2 - 4. Tìm tất cả các giá trị thực của m để tất cả các điểm cực trị đều nằm trên các trục tọa độ

Ta có

$y' = -4x^3 + 4mx = -4x(x^2 - m) $

Xét ptrinh $y' = 0$

$-4x(x^2-m) = 0$

Ptrinh có một nghiệm x = 0 hoặc $x^2 = m$

Để hso có 3 cực trị thì phtrinh $y' = 0$ phải có 3 nghiệm phân biệt, do đó ptrinh trên phải có 3 nghiệm phân biệt. Điều đó nghĩa là ptrinh $x^2-m =0$ phải có 2 nghiệm phân biệt khác 0, tức là $m > 0$.

Khi đó, 3 nghiệm của ptrinh là $0, -\sqrt{m}, \sqrt{m}$

Với $x = 0$, ta suy ra $y = -4$. Vậy điểm cực trị có tọa độ là $(0, -4) \in Oy$

Với $x = \pm \sqrt{m}$, ta có $y = m^2-4$. Vậy tọa độ 2 điểm cực trị còn lại là $(-\sqrt{m}, m^2-4)$ và $(\sqrt{m}, m^2-4)$

Do $m \neq 0$ nên $\sqrt{m} \neq 0$. Vậy 2 điểm trên ko thuộc Oy.

Vậy để 2 điểm cực trị trên thuộc Ox thì tung độ của chúng phải bằng 0, tức là $m^2 - 4 = 0$

suy ra $m = \pm 2$. Tuy nhiên, do $m > 0$ nên chỉ có $m = 2$ là thỏa mãn.

Vậy $m = 2$.