Cho tam giác ABC, M là điểm thỏa mãn 3. vectoMA+2. vectoMB = 0. Trên các cạnh AC, BC lấy các điểm P.Q sao cho CPMQ là hình bình hành. Lấy điểm N trên AQ sao cho a. vecto NA+b. vecto NQ= vecto 0 (với a,b thuộc Z và a,b nguyên tố cùng nhau). Khi ba điểm B,N,P thẳng hàng hãy tính a+b .

Đáp án:

 `19`

Giải thích các bước giải:

Gọi `D` là giao điểm của `AQ` và `MP`

`3\vec{MA} +2\vec{MB}=\vec{0}`

`=> 3MA = 2MB`

`=> \frac{MA}{MB}=2/3 => \frac{MA}{AB}=2/5; \frac{BM}{AB}=3/5`

`CPMQ` là hình bình hành `=>` $MP//QC; MQ//CP$

$MP//QC$ `=>` $MD//BQ$ `=> \frac{MD}{BQ}=\frac{AD}{AQ}=\frac{AM}{AB}=2/5`

$MP//QC$ `=>` $MP//BC$ `=> \frac{MP}{BC}=\frac{AM}{AB}=2/5`

$MQ//CP$ `=>` $MQ//AC$ `=> \frac{BQ}{BC}=\frac{BM}{AB}=3/5`

`=> \frac{MP}{BQ}=\frac{MP}{BC} : \frac{BQ}{BC}=2/5 : 3/5 = 2/3`

`\frac{MD}{MP}=\frac{MD}{BQ} : \frac{MP}{BQ} = 2/5 : 2/3 = 3/5`

`=> \frac{DP}{MP}=2/5`

`=> \frac{DP}{BQ}=\frac{DP}{MP} . \frac{MP}{BQ}=2/5 . 2/3 = \frac{4}{15}`

$MP//BC$ `=>` $DP//BQ$ `=> \frac{ND}{NQ}=\frac{DP}{BQ}=\frac{4}{15}`

`=> \frac{ND}{NQ}+\frac{NQ}{NQ}=\frac{4}{15}+1`

`=> \frac{DQ}{NQ}=\frac{19}{15} => \frac{NQ}{DQ}=\frac{15}{19}`

$MD//BQ$ `=> \frac{AD}{DQ}=\frac{AM}{BM}=2/3`

`=> \frac{AD}{NQ}=\frac{AD}{DQ}:\frac{NQ}{DQ}=2/3 : \frac{15}{19} = \frac{38}{45}``

`=> \frac{AD}{ND}=\frac{AD}{NQ}:\frac{ND}{NQ}=\frac{38}{45} : \frac{4}{15} = \frac{19}{6}`

`=> \frac{AD}{ND}+\frac{ND}{ND} = \frac{19}{6}+1 `

`=> \frac{AD+ND}{ND}=\frac{25}{6} => \frac{AN}{ND}=\frac{25}{6}`

`\frac{AN}{NQ}=\frac{AN}{ND} . \frac{ND}{NQ} = \frac{25}{6} . \frac{4}{15} = \frac{10}{9}`

`=> 9AN=10NQ => 9\vec{NA}+10\vec{NQ}=\vec{0}`

`=> a=9; b=10 (9` và `10` thỏa mãn là hai số nguyên tố cùng nhau)

`=> a+b = 9+10=19`