Giúp mình với, mình cần gấp! Cảm ơn ạ Câu 1. Cho tứ diện đều ABCD, có cạnh bằng a. a) Chứng minh AB vuông góc CD. b) Tính côsin của góc giữa AC và BD.

Đáp án+Giải thích các bước giải:

$a) E$ là trung điểm $AB$

Tứ diện đều có các cạnh bằng nhau

$\Rightarrow \Delta ADB, \Delta ACB$ đều

$\Rightarrow DE \perp AB, CE \perp AB\\ \Rightarrow AB \perp mp(DE,CE)\\ \Rightarrow AB \perp (DEC)$

Mà $DC \subset (DEC)$

$\Rightarrow AB \perp DC$

$b) F, G$ lần lượt là trung điểm $AD, BC$

$FC=FB=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$

$\Rightarrow \Delta FCB$ cân tại $F$

$\Rightarrow FG \perp BC$

$(AC, BD)=(EG, EF)=\widehat{GEF}$

Áp dụng định lý cos trong $\Delta GEF$ ta có:

$\cos \widehat{GEF}= \dfrac{EG^2+EF^2-GF^2}{2EG.EF}$

Với $EG=EF=\dfrac{a}{2}, GF^2=FB^2-BG^2=\left(\dfrac{a\sqrt{3}}{2} \right)^2-\left(\dfrac{a}{2} \right)^2=\dfrac{a^2}{2}$

Thay số ta được $\cos \widehat{GEF}= 0 \Rightarrow \cos(AC, BD)=0.$