Cho `3` số thực dương `a,b,c` thỏa mãn: `a^2+b^2+c^2+ab-2bc-2ca=0` CM: `c^2/(a^2+b^2) + c^2/(a+b-c)^2 + \sqrt{ab}/(a+b) >= 2`

*Toán chuyên Hà Nam 2022-2023. (Gần giống)

Từ gt ta viết lại: $(a+b-c)^2=ab$

Ta có: $a+b\ge 2 \sqrt{ab}$(Cauchy)

`<=>\sqrt{ab}(a+b)>=2ab`

`<=>\sqrt{ab}/(a+b)>=(2ab)/(a+b)^2`

Do đó: VT `>=c^2/(a^2+b^2)+c^2/(ab)+(2ab)/(a+b)^2`

`>=c^2(1/(a^2+b^2)+1/(2ab))+(2ab)/(a+b)^2+c^2/(2ab)`

`>= (4c^2)/(a+b)^2+(2c)/(a+b)`(Cauchy và Cauchy Schwarz)

`>= ( (2c)/(a+b))^2+(2c)/(a+b)`

Ta có: `ab\le (a+b)^2/4` (Cauchy)

`=>(a+b-c)^2\le (a+b)^2/4`

`<=>a+b-c\le (a+b)/2`

`<=>(a+b)/2\le c`

`<=>c/(a+b)>=1/2`

`=>` VT `>=1+1=2`

Dấu "$=$" có khi: `a=b=c>0`