Cho phương trình `(m+1)cosx+(m-1)sinx=2m+3`. Có bao nhiêu giá trị của tham số m để phương trình có hai nghiệm `x_1,x_2 ` thoản mãn `|x_1-x_2|=(2\pi)/3`

Đáp án + Giải thích các bước giải:

Chia cả `2` vế của phương trình cho `\sqrt{2m^2 + 2}` ta được:

`\frac{m+1}{\sqrt{2m^2 + 2}}cosx + \frac{m-1}{\sqrt{2m^2+2}}sinx = \frac{2m+3}{\sqrt{2m^2+2}}`

Đặt `cos\alpha=\frac{m+1}{\sqrt{2m^2 + 2}}`,`sin\alpha= \frac{m-1}{\sqrt{2m^2+2}}`,`cos\beta = \frac{2m+3}{\sqrt{2m^2+2}}`

Khi đó phương trình tương đương với:

`cos\alpha.cosx + sin\alpha.sinx = cos\beta`

`\iff cos(x-\alpha)=cos\beta`

`\iff x = \pm \beta + \alpha + 2k\pi(k \in ZZ)`

Gọi `2` họ nghiệm của phương trình là `x_1;x_2`.

Giả sử: `x_1 =  \beta + \alpha + 2k\pi`,`x_2 = -\beta + \alpha + 2k\pi`

Khi đó:`|x_1 - x_2| = \frac{2\pi}{3}`

`=> 2|\beta| = \frac{2\pi}{3}`

`=> |\beta| = \pi/3`

`=> cos \beta = cos \frac{\pi}{3}`

`=> \frac{2m+3}{\sqrt{2m^2+2}} = 1/2`

`=> \sqrt{2m^2 + 2} = 4m + 6`

`=> 2m^2 + 2 = (4m+6)^2`

`<=> 16m^2 + 48m + 36 = 0`

`\iff m = -3/2`

Mà để phương trình ban đầu có nghiệm thì `-1 \le \frac{2m+3}{\sqrt{2m^2+2}} \le 1`

Thử lại ta thấy thỏa mãn.

Vậy có duy nhất `1` giá trị tham số `m` là `m = -3/2` thỏa mãn.