Cho tam giác nhọn ABC có các đường phân giác AD, BE, CF cắt nhau tại I. Chứng minh rằng các đoạn thẳng ID, IE, IF là ba cạnh của một tam giác. @milocute2008

Đáp án:

Gọi r là bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác ABC, vẽ IH vuông góc với AC tại H suy ra IH=r. 

Ta cần chứng minh được ba bất đẳng thức

 IE+FI>DI;EI+DI>FI; DI+FI>EI

Thật vậy, trong tam gi{c vuông IEH có

 EIH=90−IEH<90−IEH+(90−ECB)=180−IEH−ECB=EBC<21​.90

Do đó trong tam giác vuông IEH thì góc EIH nhỏ nhất. Khi đó ta được 

EH<IH=r.

Mặt khác theo định lí Pitago ta có IE2=IH2+EH2 mà lại có

 OH=r; HC<r nên suy ra IE2<2r2

Từ đó ta được. . Chứng minh tương tự ta được r2≤IE2<2r2r2≤IE2<2r2; r2≤IF2<2r2

Từ các bất đẳng thức trên ta thu được 

DI2<EI2+FI2;EI2<FI2+DI2;FI2<DI2+EI2

Do đó IE+FI>DI;EI+DI>FI; DI+FI>EI 

hay DI, EI, FI là độ dài ba cạnh của một tam giác.