Cho tam giác ABC vuông tại A, lấy điểm M thuộc cạnh huyền BC (M không trùng B và C) . Gọi D và E theo thứ tự là chân đường vuông góc kẻ từ M đến AB,AC. a) Tứ giác AEMD là hình gì? Vì sao? b) Gọi P là điểm đối xứng của M qua D, K là điểm đối xứng của M qua E và I là trung điểm của DE. Chứng minh P đối xứng với K qua A c) Khi M chuyển động trên đoạn BC thì điểm I chuyển động trên đường nào?

Giải thích các bước giải:

a.Ta có: $MD\perp AB, ME\perp AC, AB\perp AC$

$\to ADME$ là hình chữ nhật

b.Vì $ADME$ là hình chữ nhật

$\to AM\cap DE$ tại trung điểm mỗi đường

Mà $I$ là trung điểm $DE\to I$ là trung điểm $AM$

Ta có: $M, P$ đối xứng qua $D\to D$ là trung điểm $MP$

$\to DI$ là đường trung bình $\Delta APM$

$\to AP//DI, AP=2DI\to AP//DE, AP=DE$

Tương tự $AK//DE, AK=DE$

$\to AP=AK$ và $P, A, K$ thẳng hàng

$\to A$ là trung điểm $PK$

$\to P, K$ đối xứng qua $A$

c.Gọi $AH\perp BC, H\in BC\to \Delta AHM$ vuông tại $H$

Mà $I$ là trung điểm $AM$

$\to IA=IH=IM\to \Delta IAH$ cân tại $I\to I\in$ trung trực $AH$ không đổi khi $M$ di chuyển trên $BC$