Bài 1: Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B và có cạnh SA vuông góc với mp(ABC). a) Chứng minh rằng: BC vuông góc (SAB) b) Gọi AH là đường cao của tam giác SAB. Chứng minh: AH vuông góc SC Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA(ABCD) a) Chứng minh rằng : , và b) Gọi I, J lần lượt là trung điểm của SC và SD. Chứng minh: Bài 3: Cho tứ diện SABC có SA vuông góc với mp(ABC). Gọi H, K lần lượt là trực tâm của các tam giác ABC, SBC. Chứng minh rằng: a) AH, SK, BC đồng qui b) SC vuông góc (BHK) c) HK vuông góc (SBC) Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA vuông góc với mp(ABCD). Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A trên SB, SC, SD a) Chứng minh rằng: AH vuông góc SC và AK vuông góc SC. Từ đó suy ra AH, AK, AI cùng nằm trong một mặt phẳng b) Chứng minh rằng: HK vuông góc (SAC). Từ đó suy ra HK vuông góc AI

Bài 1: a) Ta có $BC\bot AB$ (do $\Delta ABC\bot B$)

$BC\bot SA$ (do $SA\bot(ABC)$)

mà $AB,SA\subset(SAB)$

$\Rightarrow BC\bot(SAB)$

b) Ta có $AH\bot SB$ (do $AH$ là đường cao của $\Delta SAB$ giả thiết)

$AH\bot BC$ (do $BC\bot(SAB)$ chứng minh trên)

Mà $SB,BC\subset(SBC)\Rightarrow AH\bot(SBC)$

$SC\subset(SBC)\Rightarrow AH\bot SC$

Giải thích:

Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì đường thẳng vuông góc với mọi đường thẳng thuộc mặt phẳng.

Muốn chứng minh đường vuông góc với mặt ta chứng minh đường vuông góc với hai đường cắt nhau thuộc mặt.

Bài 2: thiếu đề

Bài 3: a) Trong $\Delta ABC$ gọi $AI\bot BC, BJ\bot AC$

$\Rightarrow$ trực tâm $H$ của $\Delta ABC$ là $H=AI\cap BJ$

Ta có: $AI\bot BC$ (cách dựng)

$BC\bot SA$ (do $SA\bot(ABC)$)

mà $AI,SA\subset(SAI)\Rightarrow BC\bot(SAI), SI\subset(SAI)$

$\Rightarrow BC\bot AI$

$\Delta SBC$ dựng $CM\bot SB\Rightarrow$ trực tâm $K$ của $\Delta SBC$ là $K=SI\cap CM$

$SK,AH,BC$ đồng quy tại $I$

b) Ta có: $SC\bot BK$ (1) (do $K$ là trực tâm $\Delta SBC$)

Ta có: $BH\bot AC$ (do $H$ là trực tâm $\Delta ABC$)

$BH\bot SA$ (do $SA\bot(ABC)$)

mà $AC,SA\subset(SAC)\Rightarrow BH\bot(SAC),SC\subset(SAC)$

$\Rightarrow BH\bot SC$ (2)

Từ (1), (2) và $BK,BH\subset(BHK)\Rightarrow SC\bot(BHK)$

c) Ta có: $SC\bot HK$ (do $SC\bot(BHK)$ cmt)

$HK\bot BC$ (do $BC\bot(SAI)$ cmt)

mà $SC,BC\subset(SBC)\Rightarrow HK\bot(SBC)$.

Bài 4: a) $AH\bot SB$ (1) (giả thiết cho H là hình chiếu của A lên SB)

$BC\bot AB$ (do ABCD là hình vuông)

$BC\bot SA$ (do $SA\bot(ABCD)$)

$\Rightarrow BC\bot(SAB)\Rightarrow BC\bot AH$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $AH\bot(SBC)\Rightarrow AH\bot SC$ (*)

Ta có: $AK\bot SD$ (3) (do giả thiết cho K là hình chiếu của A lên SD) 

$CD\bot AD$ (do ABCD là hình vuông)

$CD\bot SA$ (do $SA\bot(ABCD)$)

$\Rightarrow CD\bot (SAD)\Rightarrow CD\bot AK$ (4)

Từ (3) và (4) suy ra $AK\bot(SCD)\Rightarrow AK\bot SC$ (**)

Từ (*), (**) và $AI\bot SC$ suy ra $AH,AK,AI$ cùng thuộc 1 mặt phẳng.

b) $\Delta SAB=\Delta SAD$ (c.g.c) (do SA chung, $\widehat{SAB}=\widehat{SAD}=90^o$, AB=AD)

$\Rightarrow SB=SD,AH=AK\Rightarrow SH=SK$

$\Rightarrow\dfrac{SH}{SB}=\dfrac{SK}{SD}$

$\Rightarrow HK// BD,BD\bot AC\Rightarrow HK\bot AC$

và có $AH\bot SC,AK\bot SC\Rightarrow SC\bot(AHK)\Rightarrow SC\bot HK$

$\Rightarrow HK\bot(SAC)\Rightarrow HK\bot AI$.