Tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao AH ,HD vuông góc AB , HE vuông góc AC . a) C/m : tam giác AHB đồng dạng tam giác ADH , tam giác AHC đồng dạng tam giác AEH . b) C/m: AD.AB=AE.AC c) Cho AB=12cm,AC=15cm,BC=18cm.Tính độ dài đường phân giác AK của tam giác ABC (K thuộc BC)

Đáp án: $c.AK=10$

Giải thích các bước giải:

a.Ta có $AH\perp BC, HD\perp AB$

$\to \widehat{ADH}=\widehat{AHB}=90^o\to\Delta AHB\sim\Delta ADH(g.g)$

Tương tự $\Delta AHC\sim\Delta AEH(g.g)$

b.Từ câu a $\to\dfrac{AH}{AD}=\dfrac{AB}{AH}\to AH^2=AD.AB$

Tương tự $AH^2=AE.AC\to AD.AB=AE.AC$

c.Trên tia đối của tia KA lấy điểm F sao cho $\widehat{KCF}=\widehat{KAB}$
$\to \Delta KAB\sim\Delta KCF(g.g)$

$\to\dfrac{KA}{KC}=\dfrac{KB}{KF}\to KA.KF=KB.KC$

Mặt khác $\widehat{KFC}=\widehat{ABK}(cmt), \widehat{BAK}=\widehat{FAC}$
$\to\Delta ABK\sim\Delta AFC(g.g)$
$\to\dfrac{AB}{AF}=\dfrac{AK}{AC}\to AB.AC=AK.AF$

$\to AB.AC-KB.KC=AK.AF-AK.KF=AK(AF-KF)=AK^2$

Lại có $AK$ là phân giác góc A
$\to\dfrac{KB}{KC}=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac45$

$\to\dfrac{KB}{KB+KC}=\dfrac4{4+5}\to\dfrac{KB}{BC}=\dfrac49\to KB=\dfrac49BC=8$

$\to KC=BC-KB=10$

$\to AK^2=12.15-8.10=100\to AK=10$