Cho các số a, b dương thoả mãn a*3+b*3=3ab-1.Chứng minh rằng (a*2018+b*2019)=2

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

Ta có: $a^{3}$+ $b^{3}$ =3ab-1

⇔$a^{3}$+ $b^{3}$-3ab+1=0

⇔$a^{3}$+ $b^{3}$+3ab(a+b)-3ab(a+b)-3ab+1=0

⇔$(a+b)^{3}$+1-3ab(a+b+1)=0

⇔(a+b+1)($(a+b)^{2}$-(a+b)+1)-3ab(a+b+1)=0

⇔(a+b+1){$(a+b)^{2}$-(a+b)+1-3ab}=0

⇔(a+b+1)($a^{2}$+$b^{2}$ -a-b+1-ab)=0

⇔(a+b+1)(2$a^{2}$+2$b^{2}$ -2a-2b+2-2ab)=0

⇔(a+b+1){($a^{2}$-2ab+$b^{2}$)+( $a^{2}$ -2a+a)+($b^{2}$-2b+1)}=0

⇔(a+b+1){ $(a-b)^{2}$+$(a-1)^{2}$ +$(b-1)^{2}$}=0

Vì a,b dương nên a+b+1>0

⇒ $(a-b)^{2}$+$(a-1)^{2}$ +$(b-1)^{2}$=0

⇔ a=b=1

⇒ $a^{2018}$ +$b^{2019}$ =1+1=2