Cho (x+y+z)(xy+yz+zx)=xyz. Chứng minh rằng: $x^{2023}$ + $y^{2023}$ + $z^{2023}$ = $(x+y+z)^{2023}$

Đáp án:

 

Giải thích các bước giải:

 Ta có:

`(x+y+z)(xy+yz+zx)                                                        =xyz`

`⇔(x+y+z)(xy+yz+zx)-xyz                                              =0`

`⇔x^2y+xyz+x^2z+xy^2+y^2z+xyz+xyz+yz^2+xz^2=0`

`⇔2xyz+x^2y+x^2z+xy^2+y^2z+yz^2+xz^2             =0`

`⇔2xyz+x^2y+x^2z+xy^2+y^2z+yz^2+xz^2             =0`

`⇔(x^2y+xy^2)+(xyz+zx^2)+(y^2z+xyz)+(yz^2+z^2x)=0`

`⇔xy(x+y)+zx(y+x)+yz(y+x)+z^2(y+x)                          =0`

`⇔(y+x)(xy+zx+yz++z^2)                                              =0`

`⇔(y+x)(x+z)(y+z)                                                           =0`

⇔$\begin{cases} y+x=0\\x+z=0\\y+z=0 \end{cases}$

⇔$\begin{cases} x=-y\\x=-z\\y=-z \end{cases}$

Vậy, ta có:

`VT=x^2023+y^2023+z^2023`

`=(-y)^2023-z^2023+y^2023`

`=-z^2023`

`VP= (x+y+z)^2023`

    `=  (-y-z+y)^2023`

    `=-z^2023`

`=> VT=VP`