Nhờ thầy cô giáo và mọi người làm giúp em bài này với ạ. Em xin cảm ơn Cho x, y là số nguyên thỏa mãn: 3x^2 - 2y^2 = 1. Chứng minh rằng x^2 - y^2 chia hết cho 40.

Ta có: `3x^2-2y^2=1`

$\rightarrow$ `3x^2=2y^2+1`

Thấy `2y^2+1` lẻ $\rightarrow$ `3x^2` lẻ $\rightarrow$ `x^2` lẻ

$\rightarrow$ `x^2` $\equiv$ `1` `(mod 8)`

$\rightarrow$ `3x^2` $\equiv$ `3` `(mod 8)`

Mà `3x^2` $\equiv$ `2y^2` $\equiv$ `2` `(mod 8)`

$\rightarrow$ `y^2` $\equiv$ `1` `(mod 8)`

$\rightarrow$ `x^2-y^2` $\equiv$ `0` `(mod 8)`

_ Với `y^2` $\equiv$ `0` `(mod 5)`

$\rightarrow$ `3x^2` $\equiv$ `1` `(mod 5)`

Lại có: `x^2` $\equiv$ `0; 1; 4` `(mod 5)`

$\rightarrow$ `3x^2` $\equiv$ `0; 2; 3` `(mod 5)`

$\rightarrow$ Vô lí

_ Với `y^2` $\equiv$ `4` `(mod 5)`

$\rightarrow$ `3x^2` $\equiv$ `4` `(mod 5)`

Lại có: `x^2` $\equiv$ `0; 1; 4` `(mod 5)`

$\rightarrow$ `3x^2` $\equiv$ `0; 2; 3` `(mod 5)`

$\rightarrow$ Vô lí

_ Với `y^2` $\equiv$ `1` `(mod 5)`

$\rightarrow$ `3x^2` $\equiv$ `3` `(mod 5)`

 $\rightarrow$ `x^2` $\equiv$ `1` `(mod 5)`

$\rightarrow$ `x^2-y^2` $\equiv$ `0` `(mod 5)`

Mà `(5; 8)=1` và `5.8=40`

$\rightarrow$ $x^2+y^2$ $\vdots$ $40$ `(đpcm)`