`sqrt(2x^2-7x+10)=x+sqrt(x^2-12x+10)` gpt bằng pp nhân liên hợp

Đáp án:

`S={\frac{12\pm\sqrt{129}}{2};0}` 

Giải thích các bước giải:

ĐKXĐ: $x^2-12x+10\ge0⇔\left[\begin{matrix} x\ge 6+\sqrt{26}\\ x\le 6-\sqrt{26}\end{matrix}\right.$

$\sqrt{2x^2-7x+10}=x+\sqrt{x^2-12x+10}$

$⇔2\sqrt{2x^2-7x+10}-(2x+5)=2\sqrt{x^2-12x+10}-5$

$⇔\dfrac{4(2x^2-7x+10)-(2x+5)^2}{2\sqrt{2x^2-7x+10}+2x+5}=\dfrac{4(x^2-12x+10)-25}{2\sqrt{x^2-12x+10}+5}$

$⇔\dfrac{4x^2-48x+15}{2\sqrt{2x^2-7x+10}+2x+5}=\dfrac{4x^2-48x+15}{2\sqrt{x^2-12x+10}+5}$

$⇔(4x^2-48x+15)\bigg(\dfrac{1}{2\sqrt{2x^2-7x+10}+2x+5}-\dfrac{1}{2\sqrt{x^2-12x+10}+5}\bigg)=0$

$⇔\left[\begin{matrix} 4x^2-48x+15=0\\ 2\sqrt{2x^2-7x+10}+2x+5=2\sqrt{x^2-12x+10}+5\end{matrix}\right.$

Xét $4x^2-48x+15=0⇔x=\dfrac{12\pm\sqrt{129}}{2}$ (thỏa mãn)

Xét $2\sqrt{2x^2-7x+10}+2x+5=2\sqrt{x^2-12x+10}+5$

$⇔\sqrt{x^2-12x+10}-\sqrt{2x^2-7x+10}=x$

$⇔\dfrac{x^2-12x+10-(2x^2-7x+10)}{\sqrt{x^2-12x+10}+\sqrt{2x^2-7x+10}}=x$

$⇔\dfrac{-x^2-5x}{\sqrt{x^2-12x+10}+\sqrt{2x^2-7x+10}}=x$

$⇔x\bigg(\dfrac{x+5}{\sqrt{x^2-12x+10}+\sqrt{2x^2-7x+10}}+1\bigg)=0$

Dễ dàng chứng minh được $\dfrac{x+5}{\sqrt{x^2-12x+10}+\sqrt{2x^2-7x+10}}+1>0$ nên $x=0$ (thỏa mãn)

Vậy phương trình có nghiệm `S={\frac{12\pm\sqrt{129}}{2};0}`