Tìm số tự nhiên `k` để `2^k + 2^4 + 2^7` là số chính phương

          Giải

Đặt `2^k + 2^4 + 2^7 = a^2`

`=> 2^k + 144 = a^2`

`=> 2^k = a^2 - 144 = (a - 12)(a + 12)`

Đặt `a - 12 = 2^m, a + 12 = 2^n`        `(m < n; m + n = k)`

`=> 2^n - 2^m = (a + 12) - (a - 12) = 12 + 12 = 24`

`=> 2^m (2^(n - m) - 1) = 2^3 . 3`

`=> 2^m = 2^3`

`=> m = 3`

`=> 2^(n - m) - 1 = 3`

`=> 2^(n - 3) = 4`

`=> 2^(n - 3) = 2^2`

`=> n - 3 = 2`

`=> n = 5`

`=> 2^k = 2^m . 2^n = 2^5 . 2^3 = 2^8`

`=> k = 8`

Khi đó `2^k + 2^4 + 2^7 = 2^8 + 2^4 + 2^7 = 400 = 20^2`  (tm)

Vậy `k = 8`